FIAT REPORT NO. 1099 THE DETERMINATION OE THE DIELECTRIC AND MAGNETIC PROPERTIES OF IN HOMOGEN EO US DIELECTRICS, ESPECIALLY BODY T1SSUES, IN THE DEC1METER WAVE RANGE. OFFICE OF MILITARY_G_Q(VERNMENT FOR OERMANY (US) FIELD INFORMATION AGENCY, TECHNICAL (US) OFFICE OF MILITARY GOVERNMENT FOR GERMANY (US) FIAT REPORT NO. 1099 PRINTERN DATE THE DETERMINATION OF THE D1ELECTRIC AND MAGNETIC PROPERTIES OF INHOMOGENEOÜS DIELECTRICS, ESPECIALLY BODY TISSUES, IN THE DECIMETER WAYE RANGE BY HERMANN SCHWAN Kaiser-Wilhelm-Institut für Biophysik, Frankfurt/Main THIS MANUSCRIPT WAS RECEIVED AND REGISTERED ON 13. DECEMBER 1946 BY SCIENTIFIC BRANCH FIELD INFORMATION AGENCY, TECHNICAL (US) ABSTEACT. The known comparative methods for the determination of complex resistances by means of the Lecher-arrangement do not permit measurement at wavelengths below 3 m. The progress in ultra-short wave therapy requires urgent ly an accurate knowledge of the electrical constants of body tissues and methods of measuring them in the decimeter wave ränge. The reported resonance method is an absolute method which permits measurement even at short wavelengths, is simple in appli- cation, and allows high accuracy. In the second chapter it is shown that, in the de- cimeter wave ränge, only the non-quasistationary resonanee methods are of practical value. In the subsequent chapters, the considerations are discussed which apply to measurement in the 40 to 300 cm ränge when using resonance arrangements. The disturbingeffectsof wire supports and elimination of these effects are discussed. In the fifth chapter formulas are given which permit the easy computation of the dielectric and magnetic properties of materials from their complex initial resistances. The still simpler methods of calculation which become valid when special properties of the materials are taken into consideration are likewise given. BIOGRAPHICAL NOTE. Dr. Hermann Schwan studied at Goettingen, Breslau and Frankfurt /Main. In 1940 he obtained his degree in biophysics under Prof. Eajewsky and stayed with him as scientific assistant at the „Kaiser-Wilhelm-Institut für Biophysik“ in Frankfurt a. M. In 1946 he became lecturer in physics and biophysics under Prof. Eajewsky at the university of Frankfurt. His special fields are high-frequency physics and biological action of high-frequency electrical fields. Aus dem Kaiser-Wilhelm-Institut für Biophysik, Frankfurt am Main. Direktor: Professor Dr. B. Rajewsky. DIE BESTIMMUNG DER DIELEKTRISCHEN UND MAGNETISCHEN EIGENSCHAFTEN INHOMOGENER DIELEKTRIKEN, INSBESONDERE BIOLOGISCHER KÖRPER IM DEZIMETERWELLENBEREICH. Von Dr. rer. nat. Hermann Schwan, INHALTSVERZEICHNIS Kapitel I. Seite Einführung 7—20 Literatur 21 Kapitel II. Theoretische Behandlung der Resonanzverfahren zur Bestimmung komplexer Wider- stände und Materialien bei Dezimeterwellen 22—45 1. Einleitung 22 2. Grenzen der Anwendbarkeit quasistationärer Resonanzmethoden 22 3. Überblick über die möglichen nichtquasistationären Resonanzverfahren 25 4. Theorie der Resonanzanordnung, bei der Sender und Empfänger mit der Kurz- schlußbrücke verschoben werden (Fall A) 27 5. Die Resonanzanordnung mit feststehender Senderankopplung und festem Empfänger. Letzterer zwischen Sender und Abschlußwiderstand (Fall B) 31 6. Die Resonanzanordnung mit feststehender Senderankopplung und mit der Kurz- schlußbrücke verbundenem Empfänger (Fall C) 40 7. Zusammenfassung 44 Kapitel III. Eine Resonanzanordnung zur Messung komplexer Widerstände und elektrischer sowie magnetischer Stoffkonstanten im Dezimeterwellenbereich 46—71 1. Einleitung 45 2. Beschreibung der Meßleitung 45 3. Vergleich der Anordnung mit einer konzentrischen Leitung, die nach dem Abtast- verfahren Messungen gestattet 53 4. Fragen der Probenanbringung 66 5. Der Einfluß der Halterung auf die Meßergebnisse 59 6. Abhängigkeit der meßbaren Größen vom Abschlußwiderstand 60 7. Messungen nach der Substitutionsmethode 64 8. Zusammenfassung 71 Kapitel IV. Der Einfluß von Halterungen am Ende von Lecherleitungen 72—91 1. Einleitung 72 2. Der Einfluß einer Kapazität am Ende der Leitung auf die Bestimmung rein imagi- närer Abschlußwiderstände 74 3. Wirkung einer dünnen Halterung bei Leerlauf und Kurzschluß 76 4. Strenge Theorie einer dämpfungsfreien Halterung 79 5. Kapazitive und induktive Halterungen 85 6. Die Wirkung einer ideal kapazitiven Halterung auf die Komponenten eines beliebig komplexen Abschlußwiderstandes 88 7. Zusammenfassung 90 Kapitel V. Auswerteverfähren zur Bestimmung der elektrischen und magnetischen Stofficonstanten im Dezimeterwellengebiet 92—116 1. Allgemeines 92 2. Allgemeines Auswerte verfahren ohne Verwendung komplexer tg-Tafeln 95 3. Allgemeines Auswerteverfahren unter Verwendung komplexer tg-Tafeln 98 4. Auswerteverfahren für rein dielektrische Proben (fi+ = 1) 100 6. Auswertung bei sehr dünnen Proben (2 n 104 6. Papiermessungen 108 7. Nichtleitende Proben 111 8. Auswertung bei dünnen Proben 112 9. Zusammenfassung 115 Formelzusammenstellung 116—119 Rückblick 120—121 Vierstellige Tafel der komplexen Funktion w = arctg z/z . 122—123 6 KAPITEL I. EINFÜHRUNG. Die bedeutenden Fortschritte, die im letzten Jahrzehnt in der Erzeugung und Technik der Dezimeterwellen erzielt wurden, haben die Anwendungen dieses Wellen- längenbereiches auf verschiedenen Forschungsgebieten wesentlich vermehrt. Ent- sprechend der Bedeutung, die Hochfrequenzmessungen bei einer großen Anzahl von Fragestellungen der Biophysik, physikalischen Chemie, der Chemie und der Hochfrequenztechnik selbst erlangt haben, sind die Anforderungen, die an die Ge- nauigkeit, zugleich aber auch an die Einfachheit der Meßmethoden im Dezimeter- wellengebiet gestellt werden, wesentlich größer als dies noch vor wenigen Jahren der Fall war. Die bisher bekannten Verfahren erweisen sich in der heutigen Meß- praxis als unzureichend, wie im folgenden auseinandergesetzt werden soll. Um die Sachlage an einigen konkreten Beispielen zu erläutern, sei zunächst die Situation in der Biophysik betrachtet. Seit Einführung der Ultrakurzwellentherapie durch Es au und Schliephake1 hat die Verwendung hochfrequenter elektrischer Energie in der Medizin ständig an Bedeutung gewonnen. Die Erforschung ihres Wirkungsmechanismüs erwies sich sehr bald als dringlich. Auf Grund unserer heuti- gen Kenntnisse neigen wir dazu, in der Wärmewirkung das für den Heilprozeß bio- logisch wirksame Moment zu sehen. Alle bisher bekanntgewordenen Arbeiten über sogenannte „spezifische“ elektrische Effekte, die den Kurzwellen neben ihrer Wärme- wirkung eine irgendwie heilende Wirkung zusprechen, sind umstritten und zum größten Teil nicht einwandfrei durchgeführt. Allerdings bedarf hier die Möglichkeit einer „Mikroerwärmung“, bei der die kleinsten Bestandteile des Gewebes individuell erwärmt werden, also einer Wärme Wirkung nicht im Sinne der üblichen „makrosko- pischen“ Erwärmung, einer besonderen Diskussion2. Die Verteilung der elektrischen Energie und der durch sie verursachten Wärme- wirkung im biologischen Gewebe kann nur dann überblickt werden, wenn die elek- trischen Konstanten (Leitfähigkeit a und Dielektrizitätskonstante DK) desselben bekannt sind. Die Bestimmung der Leitfähigkeits- und DK-Werte wurde für alle wichtigen Körpergewebe in einer groß angelegten Untersuchungsreihe durch Bajewsky und seine Schule (Dänzer, Graul, Gsell, Osken, Schaefer, Schwan, Stachowiack, Wächter) durchgeführt. Ferner wurden Messungen von Osswald, Paetzold und Wenk1 vorgenommen. Alle diese Messungen zeigen, daß die bei Niederfrequenz schon länger bekannten Werte im Gebiete der Hochfrequenz ihre Gültigkeit verlieren. Zwischen zehn und einigen tausend Meter Wellenlänge erfahren DK- und Widerstandswerte eine erhebliche Änderung in dem Sinne, daß bei kurzer Wellenlänge die kleineren Werte vorliegen. Das eingehende Studium dieser Erschei- nung führte bald zu beträchtlichen Konsequenzen. So vermag man heute aus dem Verlauf der Dispersion Rückschlüsse auf die Eigenschaften des untersuchten Ge- webes zu ziehen. Bei Blut z. B. wurde der Aufbau des Blutkörperchens (Membran, die leitfähiges Innere umschließt) vorausgesagt und konnte später durch elektronen- optische Untersuchungen bestätigt werden. Wegen dieser Möglichkeit, durch elek- trische Messungen Aufschluß über die Eigenschaften des biologischen Gewebes zu erhalten, kommt den elektrischen Meßmethoden besondere Bedeutung zu. Weiterhin läßt die starke Abhängigkeit der elektrischen Konstanten von der Struktur des unter- suchten Gewebes erwarten, daß krankhafte Veränderungen des Gewebes sich in abgeänderten Konstanten erkennen lassen (Rajewsky). Der Entwicklung und An- wendung geeigneter Meßverfahren kommt daher mit großer Wahrscheinlichkeit eine wichtige diagnostische Bedeutung zu. Allerdings erfordert dies eine nicht unwesent- liche Verbesserung der Meßgenauigkeit, so wie sie mit den in den folgenden Arbeiten niedergelegten Verfahren erreichbar ist. 7 Auf Grund der von Rajewsky und seinen Mitarbeitern durchgeführten Unter- suchungen konnten für die Stromverteilung im Gewebe bemerkenswerte Schluß- folgerungen gezogen werden. Das von Paetzoldt aufgestellte Prinzip der selektiven Erhitzung einzelner Organe erfuhr durch Schaefer eine für die medizinische An- wendung entscheidende Korrektur in dem Sinne, daß eine Auszeichnung bestimmter Organe bezgl. der in ihnen entwickelten Wärme nur in bestimmten Fällen, aber auch dann nur geringfügig, vorliegt. Es gibt keine speziellen Wellenlängen, mit deren Hilfe es möglich ist, kranke Organe besonders stark zu erwärmen. Lediglich das Unterhautfettgewebe macht hier eine Ausnahme. Gelänge es, die immer unerwünschte Energieentfaltung in diesem herabzusetzen, so würde die Tiefenwirkung, die das Charakteristikum der Kurzwellen darstellt, gesteigert. Nach Schaefers Angaben besteht hierzu nur ein Weg: Herabsetzung der Wellenlänge, wenn möglich unter 1 m. Die bisher vorliegenden Messungen erstrecken sich aber nur in den seltensten Fällen unter 3 m Wellenlänge. Schaefer hat bei seinen Aussagen die sich unter etwa 10 m ergebende Konstanz der elektrischen Konstanten weiter extrapoliert und so seine Forderung nach Wellenlängen unter 1 m abgeleitet. Aus Gründen, die wir aber erst weiter unten berühren, ist die Annahme einer solchen Konstanz etwas gewagt. Es ist zwar anzunehmen, daß eine erneute Änderung der „Konstanten“ bei 1 m sich erst geringfügig bemerkbar macht (Gsell3). Aber trotzdem muß erst umfangreiches Material über Wellenlängen unter 1 m gewonnen werden, ehe die Möglichkeiten einer neuen „Dezimeterwellentherapie“ überblickt werden können, Hauptzweck der vorliegenden Arbeiten ist, die hierzu erforderlichen Grundlagen bereitzustellen. Für die künftige Entwicklung der medizinischen Anwendung sehr kurzer Wellen ist die Klärung einer weiteren, prinzipiell wichtigen Fragestellung erforderlich, die von Rajewsky erkannt und zum Gegenstand systematischer Untersuchungen in seinem Institut gemacht wurde. Hierbei zeigte sich besonders eindringlich, wie wesentlich eine genaue Ermittlung der elektrischen Gewebekonstanten für Dezi- meterwellen ist. Eine Reihe von Beobachtungen und Überlegungen sprechen dafür, daß die Anwendung von Dezimeter- und vielleicht Zentimeterwellen den therapeu- tischen Wirkungsbereich der hochfrequenten Felder erweitert (siehe das oben gebrachte Beispiel). Die von Esau und Schliephake eingeführte Kondensatorfeldmethode, bei der sich der Patient zwischen den Platten eines zusammen mit einer Spule in Resonanz befindlichen Kondensators befindet, ist aber nun bei Wellenlängen unter 1 m nicht mehr anwendbar. Die Ursache hierzu beruht auf der Tatsache, daß allein die Größe des Kondensators bei kleinstmöglicher Induktivität, wie sie durch die Zuleitungen vom Sender zum Patienten gegeben ist, eine minimale Resonanzwellenlänge von etwa 1 m ergibt. Die von anderen Autoren vorgeschlagenen Verfahren mit Spulen (Kowarschik, Raab) versagen aus ähnlichen Gründen im Dezimeterwellengebiet. Man muß hier dazu übergehen, die Energie durch Anstrahlung in den Körper zu bringen (Danzer, Hollmann). Dies ist am ehesten möglich mit Hilfe von Dipolen, die sich in auf den Körper aufgebundenen Parabolspiegeln befinden und mit dem Dezimeterwellensender durch Energiekabel verbunden sind. Leider erfährt die vom Dipol abgestrahlte Energie an der Grenzfläche Luft-Gewebe eine beträchtliche Reflexion. Die von Hollmann1 entwickelte Theorie der Überanpassung zeigt, wie man diese Reflexion vermindern und somit die in den Körper eingestrahlte Energie groß gestalten kann durch Verwendung geeigneter Füllsubstanzen, die den Parabol- spiegel ausfüllen und den Dipol bis zum Gewebe umgeben. Die zweckmäßig zu wählenden DK- und Leitfähigkeitswerte der Füllsubstanz sind von den Gewebe- daten abhängig. Die Füllsubstanz kann daher erst dann bestimmt werden, wenn die Ermittlung der elektrischen Daten der Gewebe im Dezimeterwellengebiet durch- geführt ist. Die bei DK und Leitfähigkeit festgestellten Dispersionserscheinungen ausnahmslos aller biologischen Substanzen können auf verschiedene Weise erklärt werden 8 (Danzer). Sie beruhen entweder auf polaren Effekten (Debye) oder auf Grenz- flächenaufladungen, wie sie zuerst bei Isolierstoffen beobachtet wurden (Wagner). Wie Danzer1 zeigte, kann durch eine Untersuchung der Frequenzabhängigkeit der DK oder Leitfähigkeit allein niemals entschieden werden, welcher Wirkungsme- chanismus vorliegt. Dies ist möglich mit Hilfe von Temperaturuntersuchungen, denn der Temperaturkoeffizient von DK und Leitfähigkeit ist bei Vorliegen eines polaren Effektes von dem bei Grenzflächenerscheinungen verschieden (Schwan1). Einige bisher nicht veröffentlichte Messungen des Temperaturkoeffizienten der DK bei niederen Frequenzen sprechen für das Vorliegen von Grenzflächeneffekten (Schwan). Da auf Grund des starken Gehaltes polarer Verbindungen alle Gewebe eine DEBYESche Dispersion aufweisen müssen, muß diese in einem anderen Wellen- längenbereich zu suchen sein. Der bei extrem langen Wellen wieder stark beginnende Anstieg der DK, den Fricke und Curtis fanden, ist kaum so zu erklären. Er dürfte durch Polarisationserscheinungen an den Elektroden verursacht und somit nicht echt sein (Schwan). Dagegen glaubt der Verfasser, daß die von Gsell3 zwischen 1 m und 50 cm Wellenlänge an Blut beobachtete geringfügige Änderung der Leit- fähigkeit polaren Ursprungs ist. Der Effekt ist jedoch verglichen mit der Meßge- nauigkeit sehr gering und bedarf daher der Bestätigung durch genauere Untersu- chungen im Dezimeterwellengebiet. Es ergeben sich somit zusammenfassend die folgenden Fragen; 1. Liegt im Dezi- meterwellengebiet eine Dispersion der elektrischen Konstanten biologischen Ma- terials vor? Wenn ja, welches sind die Konsequenzen für den Wirkungsmechanismus der Dezimeterwellenstrahlung im biologischen Gewebe? 2. Welche Bedeutung hat die Verwendung von Dezimeterwellen betreffs des Problems der Fettgewebswärme- entlastung? 3. Welche Füllsubstanzen sind in den bei Dezimeterwellen erforderlichen Parabolspiegeln für Körperbestrahlung zu verwenden ? Zur Beantwortung all dieser Fragen sind hinreichend genaue und für die Durchführung systematischer, umfang- reicher Reihenuntersuchungen geeignete Meßmethoden erforderlich. Betrachten wir die diesbezüglich vorliegende Situation, so ergibt sich das folgende Bild; In dem Gebiet um 3 m Wellenlänge wurden die von Danzer, Osswald, Schaefer und anderen durchgeführten Messungen an Lecherleitungen nach einer Substitutions- methode durchgeführt. Bei dieser wurde das am Ende der Lecherleitung in einem Gefäß angeschlossene Gewebe mit einer KCl -Lösung verglichen, deren Konzentration so lange variiert wurde, bis sie den gleichen Erregungszustand der Lecherleitung ergab, wie er bei Messung des Gewebes gegeben ist und die Leitfähigkeit der KC1- Lösung, die bis zu 3 m Wellenlänge herab keine Dispersion besitzt, mit einer Wheat- stonebrücke bei etwa 1000 Hz bestimmt. Diese Leitfähigkeit kann nur dann mit der Leitfähigkeit des biologischen Materials gleichgesetzt und letztere so ermittelt werden, wenn die Verschiebungsströme in Gewebe und KCl-Lösung entweder annä- hernd gleich o'der aber vernachlässigbar klein sind. Denn die Erregung der Lecherleitung ist bei anteilmäßig nicht vernachlässigbarem Verschiebungsstrom auch durch diesen beeinflußt (siehe hierzu im mathematischen Teil der Einführung die Bedeutung von p auf das Wellen Verhältnis). Ähnlich liegen die Verhältnisse bei einer vom Verfasser benutzten Substitutionsmethode zur Bestimmung der DK. Der Gültigkeitsbereich dieses Verfahrens wird in Kapitel III der vorliegenden Arbeit in Anbetracht der bestehenden Einfachheit dieses Verfahrens daher näher untersucht. Leider ist die Voraussetzung vernachlässigbaren Verschiebungsstromes für biologisches Gewebe unter 3 m Wellenlänge nicht mehr erfüllt. So ergaben einige nicht veröffentlichte Messungen des Verfassers mit der von Schaefer benutzten Methode einen beträcht- lichen scheinbaren Anstieg der Leitfähigkeit von Milzgewebe bei Abfall der Wellen- länge bis zu 60 cm. Ein solcher Anstieg ist aber unmöglich. Gsell3 versuchte, das Substitutionsverfahren durch „doppelte“ Substitution für das Dezimeterwellengebiet zu retten, indem er bei der Vergleichsflüssigkeit nicht nur die Leitfähigkeit, sondern durch Zugabe von Dioxan (e = 2,1) auch die DK variierte. Da aber bei Zugabe von Dioxan die Leitfähigkeit und bei Zugabe von 9 KCl-Konzentrat die DK der Vergleichslösung beeinflußt wird, ist dieses Verfahren sehr schwerfällig. Es ist praktisch nicht möglich, auf diese Weise eine hohe Meß- genauigkeit zu erreichen. Der Haupteinwand gegen die Methode ist jedoch, daß die Substiutionsflüssigkeiten selbst unter 1 m Wellenlänge nicht mehr wellenlängen- unabhängige Konstanten auf weisen. Dieser Ein wand betrifft auch alle anderen Vergleichsmethoden, unter ihnen vor allem die Brückenmethoden, insbesondere die von Wien entwickelte, bei längeren Wellen mit so großem Erfolg angewandte Baret- teranordnung, die von Dänzer, Osswald u. a. für biologische Zwecke benutzt wurde. Es ist somit unbedingt notwendig, im Dezimeterwellengebiet absolute Me- thoden ausreichender Genauigkeit an Stelle der bisher üblichen Relativmethoden für die Messung biologischen Materials zu entwickeln. Mit diesen Methoden muß es möglich sein, einen Bereich der DK und Leitfähigkeit zu umfassen, wie er durch die Verschiedenartigkeit der einzelnen Gewebearten und Flüssigkeiten (Blut, Serum usw.) gegeben ist, d. h. der Anwendungsbereich der Methode muß möglichst groß sein. Das im Kapitel II vorgeschlagene Resonanz- verfahren genügt dieser Forderung, da sein Meßbereich größer als der irgend eines anderen bisher bekannten Dezimeterwellenverfahrens ist. Auch im Gebiet der physikalischen Chemie kommt der Entwicklung einfacher Dezimeterwellen-Meßmethoden große Bedeutung zu. Es handelt sich hier vor allem darum, die von Debye und anderen Autoren entwickelten Vorstellungen nachzu- prüfen. Hiernach müssen die elektrischen Konstanten aller Flüssigkeiten, deren Moleküle eine polare Struktur besitzen, Dispersionserscheinungen aufweisen. Die „SprungWellenlänge“, d. i. die Wellenlänge, für die die stärkste Änderung der be- trachteten Konstanten vorliegt, ist u. a. abhängig von der Größe der polaren Mo- lekeln. Sie liegt bei den meisten Substanzen im Gebiet kürzester elektrischerWellen (Zentimeter- bis Meterwellenbereich). Die Bestimmung dieser für die Dispersion charakteristischsten Konstanten erfordert somit Untersuchungen der DK und Leit- fähigkeit (bzw. des Reflexions- und Absorptionskoeffizienten, die mit DK und a einfach Zusammenhängen) vor allem im Dezimeterwellenbereich. Versuche, die DK und Leitfähigkeit wässriger Lösungen bei kurzen elektrischen Wellen zu bestimmen, wurden bereits zu Ende des vorigen Jahrhunderts unter- nommen. Zu dieser Zeit entwickelte Drude5 seine bekannt gewordene 1. und 2. Methode zur Bestimmung der DK und schuf damit die Grundlagen der modernen Leitungsmeßtechnik. In seinen Arbeiten ist zum ersten Male eine exakte Berech- nung der Abhängigkeit der Spannungsverteilung längs einer Leitung vom am Ende der Leitung angeschlossenen beliebig komplexen Widerstand gebracht. Diese Arbeit ist bis heute, wenn auch in für uns unmoderner Form entwickelt, bedeutend geblie- ben. Die von Drude mit primitivstem Behelf ermittelten Stoff konstanten haben zum größten Teil keine Korrektur erfahren. Die Erfassung von Leitfähigkeitswerten dagegen ist Drude noch nicht einwandfrei gelungen. Wenden wir uns den Arbeiten der letzten Jahrzehnte zu, so erscheinen vor allem die von Hellmann, Rieckhoff und Zahn6 bemerkenswert. Zahns „Dekrements- methode“ wurde zunächst am quasistationären Gebilde entwickelt. Leider sind hierbei infolge der Außerachtlassung der Unterschiede, die zwischen frei ausschwin- genden und erzwungenen Schwingungen bestehen, Fehler unterlaufen. Hierauf und auf die sich für den physikalischen Chemiker ergebenden Konsequenzen bezgl. der von Zahn gewonnenen Ergebnisse kann hier nicht näher eingegangen werden. Ebenso sind Ein wände gegen eine spätere Arbeit von Zahn zu machen, die sich mit der Meßmethodik der Lecherleitung beschäftigt (siehe hierzu die diesbezgl. Bemer- kung im Kapitel II). Hellmanns7 Methode, die Reflexion bei Eintritt der Welle in ein unbegrenzt angenommenes Medium zu bestimmen und hieraus die DK zu berechnen, ist zwar exakt. Sie hat aber den Nachteil, zu nicht einfach übersehbaren Formeln zu führen und sagt nichts über die Bestimmung der Leitfähigkeit aus. Außerdem bedarf sie bei nicht sehr stark leitenden Flüssigkeiten erheblicher Mengen an Untersuchungslösung, wenn die gemachte Voraussetzung des Totlaufens der 10 Welle in der Elektrolytlösung erfüllt sein soll. Den gleichen Nachteil besitzt eine in jüngster Zeit von Pracher8 angegebene Methode, mit der die Leitfähigkeit, nicht aber die DK, aus dem Abfall der Spannung längs einer Leitung, die vom zu untersuchenden Material umgeben ist, ermittelt werden kann. "Gerade aber Messun- gen an verdünnten Lösungen sind bekanntlich wichtig, um die von Debye-Falken- hagen entwickelten theoretischen Vorstellungen nachprüfen zu können. Es ist daher von großer Bedeutung, zu untersuchen, welches der Einfluß einer nur ein kurzes Leitungsstück umgebenden Flüssigkeit auf den Erregungszustand der gesamten Leitung ist und wie sich DK und Leitfähigkeit der Flüssigkeit aus diesem Einfluß bestimmen lassen. Im Besitz einer solchen Methodik vermag man alle den physikali- schen Chemiker interessierenden Fragen bezgl. der elektrischen Dispersionserschei- nungen zu beantworten. Ähnliches gilt bezüglich der zunehmend an Interesse gewinnenden magnetischen Dispersionserscheinungen. Aus den letzteren lassen sich wichtige Folgerungen atomphysikalischen Inhaltes ziehen. Es wurde daher ganz allgemein von der An- nahme ausgegangen, daß Substanzen vorliegen, die nicht nur elektrische, sondern auch magnetische Eigenschaften aufweisen. Im allgemeinsten Fall besitzt ein Ma- terial also eine DK (e) und eine Permeabilität iß), die ungleich 1 ist. Ferner sind gewisse dielektrische und magnetische Verluste gegeben, die sich durch die Verlust- faktoren tg und tg d'fj, quantitativ charakterisieren lassen (siehe hierzu weiter unten). In Kapitel V werden wir sehen, wie sich aus dem Erregungszustand einer Leitung diese vier Konstanten am zweckmäßigsten errechnen lassen. Wir können also von beliebigen Flüssigkeiten und festen Materialien dielektrische und magne- tische Konstanten bestimmen. Dies ist außer in den oben erwähnten Beziehungen auch für viele andere Wissenschaftszweige wichtig. Als Beispiel sei hier nur das Interesse des Chemikers an den elektrischen Eigenschaften vieler in den letzten Jahren entwickelten Kunststoffe erwähnt. Aus den elektrischen Konstanten dieser Materialien lassen sich oft wertvolle Hinweise auf die chemische Struktur derselben ableiten, da diese die elektrischen Konstanten bestimmt. Das größte Interesse an der Entwicklung von Dezimeterwellenmeßmethoden hatte vor allem in den letzten Jahren die Hochfrequenztechnik selbst. Hier lag das Problem vor, Widerstandsbestimmungen an beliebig komplexen Impedanzen bei Dezimeter- wellen vorzunehmen. Es zeigte sich bald, daß die Anwendung quasistationärer Methoden versagt (siehe hierzu Kapitel II). So wandte man sich der erstmalig von Drude mit großem Erfolg benutzten Lecherleitung zu und entwickelte diese zu beachtlicher Vollkommenheit. Wir unterscheiden heute zwei verschiedene Aus- führungsformen der Lecherleitung: die offene und die geschlossene Bauform. Beider offenen Ausführung dienen zwei parallele Drähte zur Fortleitung der Welle, bei der geschlossenen wird ein Leiter von einem zweiten umgeben (Abb. 1 und 2). Bei der geschlossenen Ausführung verläuft das gesamte elektromagnetische Feld im Innern des umfassenden Leiters. Sie hat vor der offenen Bauform daher den Vorteil, daß Abb. 1 Abb. 2 11 äußere Einflüsse auf das Feld nicht ein wirken können (z. B.: Nähern einer Hand usw.). Die in der Hochfrequenztechnik heute meist benutzte Form ist die geschlossene Ausführung, bei der Innen- und Außenleiter kreisförmig sind und sich konzentrisch umgeben. Der Aufbau einer solchen Leitung bedingt einen größeren Aufwand als der einer offenen Doppeldrahtleitung. Die bei Anwendung von Lecherleitungen zur Benutzung kommenden Verfahren lassen sich in zwei Gruppen einteilen: die Resonanzverfahren und das Abtast- verfahren. Allen Resonanz verfahren gemeinsam ist, daß die gesamte Leitung, an deren einem Ende die zu untersuchende Impedanz bzw. Materialprobe sich befindet, mit der erregenden Welle auf Resonanz abgestimmt wird, d. h. daß gewisse Ströme oder Spannungen einen Maximalwert erreichen. Die Resonanzabstimmung geschieht hierbei entweder durch Variieren der Wellenlänge des Senders oder durch Verändernder Leitungslänge mittels eines an dem der Probe abgewandten Leitungsende befindlichen verschiebbaren Kurzschlußbügels. Neben der Resonanzwellenlänge bzw. Resonanz- leitungslänge wird eine Resonanzkurvenbreite bestimmt. Diese ist durch die Ver- stimmung der Wellenlänge bzw. Leitungslänge definiert, die erforderlich ist, um den betrachteten Resonanzstrom (bzw. Spannung) um den Faktor y2 zu verringern. Die beiden so gemessenen, für die Resonanzkurve charakteristischen Werte lassen dann auf die Komponenten der meist an einem Ende der Leitung angeschlossenen, zu bestimmenden Impedanz schließen. Bisher sind Resonanz verfahren nur für Fälle angewandt worden, bei denen eine kräftige Resonanzerregung der Leitung möglich war. Diese ist immer dann erreichbar, wenn der die Leitung abschließende Wider- stand so stark reflektiert, daß eine kräftige, stehende Wellen Verteilung ermöglicht wird. Stark dämpfende Impedanzen können mit den bisher entwickelten Resonanz- verfahren daher nicht gemessen werden. Demgegenüber gestattet das Abtastverfahren bevorzugt die Bestimmung stark dämpfender Widerstände. Bei diesem Verfahren ist es nicht erforderlich, die Lei- tung auf Resonanz abzustimmen. Die bei ihm verwandte Anordnung ergibt sich aus Abb. 3. Der Sender, der die für die Messung erforderliche Energie liefert, und Abb. 3 der zu bestimmende Widerstand 91 sind an den beiden Enden der Leitung ange- bracht. Der Sender wird hierbei so schwach angekoppelt, daß sein Erregungszustand von der Leitung nicht beeinflußt wird. Mit Hilfe eines Empfängers E, der mittels kapazitiver Kopplung so lose an die Leitung angeschlossen ist, daß er deren Wellen- verteilung nicht beeinflußt, wird durch Verschieben längs der Leitung die Span- nungsverteilung auf derselben abgetastet. Es sei kurz dargelegt, was so gemessen wird1). Wir bezeichnen f = p komplexer Reflexionsfaktor des Abschlusses 91 (Verhältnis der von S ankommenden zu der von 91 reflektierten Welle) x Abstand des Empfängers von 91 X Wellenlänge. Dann läßt sich die auf 91 zulaufende Welle in der Form 9 Siehe z. B. Knol und Strutt9! 12 uh — U0 cos ft) t -\-2 n - j und die von 9? reflektierte Welle durch ur — U09 cos t — 2 n - -j- im Abstand x vom Ende 9t darstellen. Daraus folgt für die Amplitude U der Summe beider Wellen nach dem cos-Satz U2 = U\ j~l -j- p2 + 2 p cos 7i - — j . (1) Für das Minimum der Wellenverteilung gilt (x = x0!) q> = 4tt y + (2n + 1) w == 0, 1,2 ... (2) A #min = (1 — p). (3) Das Maximum hat den Wert Umax = Uo (1 + ?)> (4) so daß der Quotient U min 1 P ' Tr—■ = rrr 1 ~i~ P nur eine Funktion von p ist. Die Bestimmung des Wellenverhältnisses W = ■— (6) Umax und eines Wertes x0 gestatten somit mit Hilfe der Gleichungen (2) und (5) eindeutig den Reflexionskoeffizienten p nach Betrag und Phase zu ermitteln. (Wie aus p der Widerstand berechnet wird, ist weiter unten dargelegt.) Die Messung des Wellen Verhältnisses ist natürlich besonders einfach, wenn Maxi- mum und Minimum der Verteilung nicht zu verschieden von einander sind, d. h. wenn p klein bzw. wenn die Probe oder Impedanz 91 schwach reflektierend ist. Bei starker Reflexion wird das Minimum sehr klein und daher schlecht bestimmbar. Man hilft sich hierbei, indem man an Stelle des Maximums die x-Werte links und rechts von x0 bestimmt, für die U den V2 fachen Wert von ?7min annimmt10. So vermeidet man die Schwierigkeit, den Empfänger für große Meßbereiche einwandfrei entwickeln zu müssen. Der Abstand der beiden x-Werte mit U = V2 wird als Knotenbreite B bezeichnet und steht mit W in einfacher Beziehung. Es gilt nämlich, wie aus Gleichung (1) leicht herleitbar ist Wi=1 + T7ft- <7) sm u) Trotz der Einführung der Knotenbreite bleibt die Schwierigkeit bestehen, daß bei kleinem Minimum dasselbe sehr störanfällig ist. Die geeignete Oberwelle des Senders kann leicht eine Amplitude im Minimum der Grundwelle erzeugen, die die Minimum- ablesung vollkommen verfälscht. Hierzu kommen die hohen Anforderungen, die an den Empfänger zu stellen sind. Aus all dem folgt, daß das Abtastverfahren nur für stark dämpfende Impedanzen geeignet ist. De r hauptsächliche Vorteil des Abtastverfahrens dürfte in seiner einfachen mathe- matischen Grundlage zu erblicken sein. Dies ist sicher auch der Grund, weshalb es in der Hochfrequenz-Technik vor allem zur Anwendung kommt. Seine Einführung ist in erster Linie auf die wichtige Arbeit von 0. Schmidt11 zurückzuführen. Die Nachteile sind folgende: Die Bewegung des Empfängers längs der Leitung ist ohne Beeinflussung der Wellenverteilung nur bei geschlossenen Ausführungen 13 möglich. Es ist also weit mehr durch das Abtastverfähren als durch die Empfind- lichkeit der offenen Bauweise bedingt, daß praktisch alle Ausführungen heute geschlossen sind. Die geschlossene, meist konzentrisch ausgeführte Leitung besitzt einen schmalen Schlitz, durch den eine kleine Antenne den Innenleiter kapazitiv ankoppelt. Der Abstand dieses Schlitzes vom Innenleiter muß bei Verschiebung längs der Leitung äußerst genau konstant bleiben, wenn nicht durch Abstands- schwankungen die Empfängerangaben beeinflußt werden sollen. Die Führung des Abtastorganes muß daher mit der größten Präzision gearbeitet sein. Dasselbe gilt für die exakte Lagerung des Innenleiters. Letzteres bedingt bei nicht zu kurzer Wellenlänge und entsprechend langer Leitung Halterungen des Innenleiters. Diese Halterungen wiederum müssen mit besonderer Sorgfalt hergestellt und erprobt werden, wenn sie nicht die Spannungsverteilung längs der Leitung maßgebend be- einflussen sollen. In Kapitel V werden wir hierauf näher eingehen. Auf die Notwendigkeit der Verwendung absolut oberwellenfreier Erregung der Leitung wurde bereits hingewiesen. Sie wird sich in praxi nur durch Resonanzein- richtungen, die zwischen Sender und Leitung geschaltet sind, erreichen lassen. Hieraus folgt, daß das Abtastverfahren sich nur in Verbindung mit Resonanzein- richtungen für größeren Meßbereich herrichten läßt. Es erhebt sich hier die Frage, ob sich nicht eine bessere Kombination finden läßt, die die Vorteile des Abtastver- fahrens (einfache Grundlage) mit denen des Resonanz Verfahrens (Maximum-Unter- suchung) verbindet. In Kapitel II werden die Grundlagen eines neuen Verfahrens gewonnen, das diese Verbindung in idealer Weise herstellt und zudem mit seinem Anwendungsbereich die des Abtast- und Resonanzverfahrens umfaßt. Studiert man die Arbeiten, die bisher zur Entwicklung von Resonanzverfahren durchgeführt wurden, so fällt auf, daß die Beschränkung des Verfahrens auf schwach dämpfende Impedanzen eine freiwillige ist: Bei Ableitung der mathematischen Grundlage des Jeweils verwandten Verfahrens wurde zwecks Erreichung einfach zu handhabender Formeln von Anfang an die Voraussetzung kleiner Resonanzkurven- breite gemacht. So ist dies bei Dahme12 der Fall, der Kabeldämpfungen untersucht, indem er mit Meterwellen Kabelstücke in Resonanz erregt. Als Vorzüge der Arbeit von Dahme sind die saubere Formulierung der Voraussetzungen (wobei sonst viel gesündigt wird) und die Erfassung des Einflusses des Meßorganes zu nennen. Nach- teilig ist neben der Beschränkung des Verfahrens auf Kabel geringer Dämpfung die Kompliziertheit der Formeln, und die Unmöglichkeit, DK-Bestimmungen vorzu- nehmen. Küster13 hat Dahmes Methode für Zentimeterwellen entwickelt, um die Eigenschaften keramischer Isolierstoffe zu bestimmen. Bei ihm findet sich kein Hinweis, ob und wie stärker dämpfende Substanzen untersucht werden können. Das Gleiche gilt für die Arbeiten aller übrigen Autoren (Ditl14, Kaufmann15, Brück16) . In diesem Zusammenhang verdient die Arbeit von Brück16 besondere Erwähnung, da in ihr ein Vergleich des Abtast- mit dem Resonanzverfahren vorgenommen wird und Brück zu einer Abgrenzung des Anwendungsbereiches beider Verfahren gelangt. Das von Brück diskutierte Resonanzverfahren ist inhaltlich mit dem ersten der in Kapitel II beschriebenen Verfahren identisch, wenn wir das letztere nur für ge- ringe Resonanzkurvenbreiten formulieren. Auch Brück ist der Ansicht, daß Reso- nanzverfahren nur für schwach dämpfende Impedanzen brauchbar sind, ohne zu erkennen, daß diese Beschränkung durch die gleich zu Beginn der Abhandlung ge- machte Voraussetzung kleiner Resonanzkurvenbreite bedingt ist. Wir w-erden dem- gegenüber zeigen, daß das letzte der in Kapitel II mit geringem apparativem Auf- wand auskommende Resonanzverfahren den Meßumfang des Abtastverfahrens umschließt. Ein weiterer Punkt scheint dem Verfasser von großer Wichtigkeit. Bei den bisher meist benutzten Abtastverfahren erfordert die exakte Halterung der Leiter die Ver- wendung meist mehrerer Stützen. Über den Einfluß dieser Halterungen liegt bisher nur wenig Material vor. Erst in jüngster Zeit sind einige Arbeiten erschienen, unter denen der von Weissfloch17 mitgeteilte Transformationssatz, sowie vor allem aber 14 die von Meinke18 mitgeteilten Ergebnisse über stoßfreie Bauelemente beachtenswert sind. Der von Weissfloch gefundene Transformationssatz gestattet, die Wirkung einer Halterung durch eine einfache Transformation darzustellen. In der Arbeit Meinkes wird sie durch Einführung einer gewissen Längenkorrektur charakterisiert. Die in Kapitel IV der vorliegenden Arbeit niedergelegten Überlegungen sind in einigen Punkten den Abhandlungen Meinkes verwandt. Sie haben vor Meinkes Formeln j edoch den großen Vorteil, daß die interessierenden Korrekturgrößen nur von experimentell leicht erfaßbaren Werten abhängen, was bei Meinke nicht der Fall ist. Erstmalig wird in diesem Kapitel dargelegt, welch großen Einfluß Halterungen auf die Bestimmung der am Ende der Leitung angeschlossenen Impedanzen haben können und die Möglichkeit gegeben, die so entstehenden Fehler abzuschätzen. Aus alldem folgt, daß man von der Verwendung der Stützen möglichst absehen soll. Die in Kapitel III beschriebene Anordnung berücksichtigt dies, indem sie nur eine Halterung erfordert. Beim Studium der Literatur vermißt man ferner die Behandlung einer Reihe praktisch wichtiger Problemstellungen. Sie betreffen die Frage nach den Fehlern, die bei nicht einwandfreiem Sitz der zu untersuchenden Proben entstehen, die Frage des Anwendungsgebietes der Substitutionsmethoden, das Problem des Einflusses besonderer Konstruktionseigenarten (Schlitz in konzentrischer Leitung, geringe Exzentrizität des Innenleiters) usw. Der Behandlung dieser Einzelfragen ist daher ein großer Teil des dritten Kapitels gewidmet worden. In den Kapiteln II, III und IV werden alle Fragen, die den Aufbau einer Resonanz- leitung großen Meßbereiches betreffen, wie oben dargelegt, behandelt. Die als gün- stigst erkannte Anordnung besteht aus einem Kurzschlußschieber, der das eine Ende der Leitung abschließt. An ihm ist ein induktiv erregter Empfängerkreis an- gebracht. Der zu untersuchende Widerstand liegt am anderen Leitungsende, der Sender koppelt irgendwo in der Mitte der Leitung induktiv an. Die Stellung der Kurzschlußbrücke und die durch ihr Verschieben auf nehmbare Resonanzkurve sind die Meßwerte, aus denen sich die Daten des zu bestimmenden Widerstands rechnerisch ergeben. Mit einer solchen Anordnung ist es ebenso wie bei allen anderen Verfahren zunächst nur möglich, Reflexionskoeffizienten zu bestimmen. Wie sich aus diesen die Komponenten eines am Ende der Leitung befindlichen Widerstandes ermitteln lassen, wird weiter unten kurz gezeigt. Schwieriger ist es dagegen, das Problem zu beantworten, wie sich die Konstanten eines dielektrischen oder magne- tischen Materials aus dem gemessenen Reflexionskoeffizienten der Materialprobe ergeben. Ihm sind die Ausführungen des Kapitels V gewidmet. Es wird dabei der einfachste, in praxi meist gegebene Fall vorausgesetzt, daß die Probe das Ende der Leitung umgibt bzw. ausfüllt, ohne daß die Leiterdimensionen abgeändert sind (Abb. 4). Es ist dann also sozusagen an die eigentliche „Meßleitung“ eine zweite Leitung angeschlossen, deren Leiter die gleichen Dimensionen wie die der Meßleitung besitzen und deren Länge durch die Dicke der Proben gegeben ist. Das Dielektrikum dieser „Probenleitung“ ist dabei nicht Luft, sondern wird durch das auszumessende Material gebildet. Es liegt nun die folgende Situation vor. Die Probenleitung besitzt an den Punkten A einen gewissen Eingangswiderstand, der von den Leiterdimen- sionen, den Materialkonstanten des Dielektrikums und der Wellenlänge abhängt. a) offen Abb. 4 b) geschlossen 15 Die Meßleitung vermag nur diesen Eingangswiderstand wahrzunehmen, ohne zu erkennen, wie er zustande kommt. Er kann z. B. durch einen punktförmig konzen- trierten komplexen Widerstand oder durch eine andere Probenleitung anderer Länge bei abgeändertem Dielektrikum genau so gegeben sein. Es kann daher nur ein rein mathematisches Problem sein, zu entscheiden, welches Dielektrikum vor- liegen muß, um bei der als bekannt voraussetzbaren Probenleitungslänge in A den gemessenen Eingangswiderstand zu erzielen. Wir werden sehen, daß sich die beiden Komponenten des Eingangswiderstandes eindeutig aus den beiden Werten p und W, die gemessen werden, bestimmen lassen. Aus den beiden Komponenten des Ein- gangswiderstandes können sich natürlich aber nicht alle vier, die elektrischen und magnetischen Eigenschaften des Dielektrikums charakterisierenden Werte DKe, Permeabilität /x, tg'&e, tg &/A) bestimmen lassen. Zu den hierzu erforderlichen vier Bestimmungsgrößen gelangt man, wenn die Meßwerte p und W zweimal gemessen werden, wobei das Ende der Probenleitung (EE) mit zwei verschiedenen Wider- ständen abgeschlossen wird. Am einfachsten ist der Fall, daß einmal das Ende offen gelassen und sodann durch eine Metallscheibe kurzgeschlossen wird. Diese Methode hat sich allgemein eingebürgert und man spricht sinngemäß von Leerlauf- und Kurzschlußmessung. Die Berechnung der vier Materialkonstanten aus den vier Meßwerten, die im Leerlauf- und Kurzschlußmeßgang gewonnen werden, ist nicht einfach. Eine ähnliche Problemstellung interessiert die Kabeltechniker, die Aufschluß über die Qualitäten von Kabeln erlangen wollen und zu diesem Zweck den Eingangswiderstand eines am der Messung abgewandten Kabelende zunächst offenen und dann kurzgeschlos- senen Kabelstückes messen. Das hier zur Anwendung gelangende rechnerische Ver- fahren ist u. a. bei Feldkeller19 niedergelegt und recht umständlich2). Es ist im wesentlichen übereinstimmend mit dem ersten der in Kapitel V niedergelegten Verfahren, jedoch ist in den Gleichungen des Kapitels V der Einfluß von Fehlmes- sungen leichter zu übersehen. Alle heute in Kabelmeßtechnik und Dezimeter wellen- gebiet gebräuchlichen Verfahren stimmen mit geringen Varianten mit dieser Methode überein. Die sich beim praktischen Arbeiten ergebenden Schwierigkeiten, die durch den für die Anwendung des Verfahrens erforderlichen Zeitaufwand gegeben sind, haben mich veranlaßt, Vereinfachungen anzustreben. Es gelang, die in Kapitel V an zweiter Stelle gebrachte komplexe Methode zu entwickeln, die gleiche Allgemein- gültigkeit wie das bekannte Verfahren hat, vor diesem aber den Vorteil aufweist, daß die erforderliche Rechenarbeit nur etwa ein Drittel an Zeit wie bei der bekannten Methodik erfordert. Außerdem besitzt das neue Verfahren den Vorteil größerer Übersichtlichkeit. In den meisten Fällen ist es nicht erforderlich, alle vier Stoffkonstanten zu er- mitteln. So ist z. B. meistens fi gleich 1 und kein magnetischer Verlust gegeben, oder aber es sind andere vereinfachende Voraussetzungen wie geringe Probendicke, geringe Verluste usw. erfüllt. In all diesen Fällen lassen sich die Auswerteverfahren sehr vereinfachen. Die sich so ergebenden einfachen Methoden haben für den Prak- tiker, der viele Bestimmungen durchführen muß, natürlich große Bedeutung. In der Literatur finden sich merkwürdigerweise kaum Hinweise auf die Vereinfachungen, die die komplizierten Verfahren in den genannten Fällen erfahren. Sie sind daher erstmalig in Kapitel V abgeleitet und zusammengestellt werden. Dem Verfasser ist lediglich die Arbeit von Untermann22 als in dieser Richtung bedeutend bekannt. Untermann hat sich mit dem Falle des Vorliegens rein dielektrischer Proben {/x = l,tg ftp =0) beschäftigt. Sein Verfahren ist wesentlich einfacher als die allgemein gültige Methodik. Es gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil dient zur Bestimmung zweier Hilfsgrößen a und ß, der zweite der Berechnung der DK und Leitfähigkeit aus a und ß. Das zu Beginn des Kapitels V gebrachte allgemeine Auswerteverfahren J) Zur Defination der Verlustfaktoren tg &e und tg siehe Kapitel V, p. 2. 2) Siehe auch die Arbeiten von Kaden2u und Sommer21. 16 besitzt den gleichen Aufbau. Es ergibt die von Untermann angegebenen Formeln für DK und Leitfähigkeit, wenn es für // == 1, tg = 0 spezialisiert wird. Die von mir entwickelten Verfahren wurden Herrn Untermann vor Abfassung seiner Arbeit mitgeteilt. Unter anderem gehört dazu genau das von Untermann beschriebene Verfahren, DK und Leitfähigkeit aus a und ß zu berechnen, wenn fj, =* = 0 gilt. Die Formeln, die DK und Leitfähigkeit aus a und ß für den Fall /.i = l,tg$/< == 0 zu bestimmen gestatten, sind übrigens schon länger bekannt. So werden sie z, B. von R. Becker23 in seinem Buch mitgeteilt. Die Bestimmung von a und ß dagegen ist bei Untermann einfacher als bei mir. Sie ist unter Verwendung der komplexen Funktion z-tgz sehr leicht möglich. Untermann ist es entgangen, daß die Verwen- dung der Funktion z-tgz die Ermittlung der Werte dielektrischer Proben unter Vermeidung der Hilfsgrößen a und ß direkt in einfachster Weise gestattet. Das sich so ergebende Verfahren ist ebenfalls in Kapitel V gebracht. Seine Überlegenheit gegenüber dem UNTERMANNschen Verfahren ist der Grund dafür, daß ich nicht das erste der in Kapitel V gebrachten Verfahren in der mir bekannten, Untermann mitgeteilten Form für den Fall [x — 1, =0 spezialisiert angegeben habe. Als besonders wertvoll bleibt an der Arbeit von Untermann, daß dieser die Funk- tionen z-tgz und z-ctgz in weitem Bereich berechnet und dargestellt hat. Ehe wir uns nun der eingehenden Behandlung der angegebenen Probleme in den folgenden Kapiteln zuwenden, seien zum besseren Verständnis die Grundlagen der Leitungstheorie, die in der folgenden Arbeit vorausgesetzt werden, kurz abgeleitet1). Bezeichnen wir mit Gl, Ll und Gl Längswiderstand, Querleitwert, Induktivität und Ka- pazität der Längeneinheit einer Lecherleitung, so gilt offensichtlich (Figur!) für Strom (i) und Span- nung (u); Abb. 5 • d i r du tR + L-=- (8) «e+o- = —• (m Das System dieser partiellen Differentialgleichungen besitzt bei sin-förmiger Erre- gung der Leitung die allgemeinen Lösungen U = uxe~yx -f- u2e+yx (10) t 1 1 J = - u-,e~yx Moe+y®, (11) h h K } wobei ux und u2 die zwei durch spezielle Randbedingungen festzulegenden Inte- grationskonstanten des Problems und U und J die Amplituden der Schwingungen u = U i — J eimt (12) sind {j — V— 1, (0 = 2 nv Kreisfrequenz). Die Größen y und g werden durch die Gleichungen Y2 — (gl + jo> CL) {Rl+Joj Ll) (13) 2 _ Rl +jo)LL * GL+j Analog hierzu kann man den Eingangswiderstand 9fta einer Leitung der Länge l, die mit einem komplexen Widerstand fR belastet ist, berechnen. Sind ua und Ua die Amplituden der auf zu- und von 9t weg- laufenden Wellen am Leitungsumfang, so ist offenbar Abb. 6 SRa = U j. (19) Ua — Ua 18 Da aber ua — ue eyl und u'a = u'e e~yl gilt, folgt weiter = <2°) Bei Meßleitungen sind RL und Gl meist vernachlässigbar klein, so daß ä . (2i) eine reelle Größe und ß — 0 wird. Dann gilt y & 2n ~j und somit l_j_ ,-4* * 9ta=Z -• (22) 1 _ pe-j^\ Ist 9t = 0 (Kurzschluß), so p nach Gleichung (18) gleich — 1 und somit SR-K = s \ + e-Jyi — i ctg 71 • (23) Ist 9t = oo (Leerlauffall), so folgt entsprechend SRx = äTgyi. (24) Die Kombination der beiden letzten Gleichungen ergibt die wichtigen Beziehungen ä=V(R l-Mk (25) Tgy!=VI?- (26) Bezeichnen wir Betrag und Phase des Reflexionskoeffizienten p mit p und — cp, so folgt aus Gleichung (18) für reelles j = Z (verlustfreie Meßleitung!) * = 1 fpe H (27) Z 1 —P e-ir ' ; und hieraus nach kurzer Rechnung 9* = 1~p2— i2g,sin v. ,28i Z 1 + p2 — 2 p cos cp Mit Hilfe dieser Beziehung ist es leicht möglich, die beiden Komponenten von 91 aus p und cp zu ermitteln. Der Zusammenhang von p und Wellen Verhältnis W wurde bereits bei der Schilderung des Abtast Verfahrens besprochen, cp ist ebenfalls aus der Messung leicht zu entnehmen (siehe hierzu z. B. den Anfang von Kapitel V!). Die Bestimmung von 91 aus p und cp gestaltet sich besonders einfach mit Hilfe von graphischen Hilfstafeln. Bekanntlich ergibt die konforme Abbildung der Koordi- natenebene durch die komplexe Funktion z = —~ ein System zweier ortho- gonaler Kreisscharen. Versieht man diese Scharen mit p- bzw. 99-Parametern, so erhält man mit den Koordinaten des Schnittes der durch die Messung gegebenen p- 91 • • • und gp-Kreise sofort Real- und Imaginärteil von . Dieses Kreisdiagramm wurde von 0. Schmidt11 eingeführt und ist seitdem vielfach in Gebrauch. Es ist allerdings nicht möglich, den p- und 99-Bereich einerseits so fein zu unterteilen, wie es die ange- strebte Genauigkeit erfordert und andererseits so weit zu spannen, daß praktisch alle vorkommenden Fälle, wie sie z. B. durch sehr gering leitfähige Proben gegeben sind, erfaßt werden. 19 Die vier im folgenden gebrachten Kapitel sind so geschrieben, daß jedes für sich gelesen werden kann. Die in ihnen gebrauchten Bezeichnungen sind immer identisch mit den in dieser Einleitung gebrauchten. Die experimentelle und theoretische Ent- wicklung, die in der vorliegenden Arbeit ihren Niederschlag fand, wurde in den Jahren 1943 bis 1945 am Frankfurter Kaiser-Wilhelm-Institut für Biophysik unter Leitung von Herrn Professor Dr. B. Rajewsky durchgeführt. Es wurden mit der in Kapitel III beschriebenen Anordnung einige tausend verschiedene, von der Industrie gelieferte Materialien untersucht und dabei die geschilderten Methoden erprobt. Mit der Durchführung dieser Arbeiten wurde der Verfasser von Herrn Professor Rajewsky im Sommer 1943 betraut. Herr Professor Rajewsky brachte der Entwicklung der Meßtechnik sein besonderes Interesse entgegen und hat mir jede apparative Hilfe trotz kriegsbedingter Schwierigkeiten großzügig zur Ver- fügung gestellt. Dieser Tatsache und vielen positiven Anregungen meines verehrten Lehrers ist das erreichte Resultat zu verdanken. Ich schulde Herrn Prof. Rajewsky dafür meinen ganz besonderen Dank. 20 LITERATUR. 1 Eine ausführliche Darstellung der Arbeiten der genannten Autoren findet sich in den von Rajewsky herausgegebenen Ergebnissen der biophysikalischen Forschung, 1. Band (Ultra- kurzwellen), erschienen bei Thieme, Leipzig 1938. In ihm finden sich eingehende Arbeiten von Danzer, Hollmann, Rajewsky, Schaefer und Schliephake sowie umfangreiche Literaturangaben. 2 Schaefer H. und Schwan H.: Zur Frage der selektiven Erhitzung kleiner Teilchen im Ultrakurzwellen-Kondensatorfeld. Annalen d. Physik, Bd. 48, 99, [1943]. Schaefer H. und Schwan H.: Zur Frage der selektiven Erhitzung von Einzelzellen (Bak- terien) im biologischen Gewebe mittels Ultrakurzwellen-Durchflutung. [1943], bisher un- veröffentlicht. 3 Gsell G.: Absorptionsmessungen an biologischen Flüssigkeiten (Blut) im Bereich von 50 bis 100 cm Wellenlänge. Phys. Zeitschr., 43. Jahrg. 101, [1942]. 4 Schwan H.: Dielektrisches Verhalten inhomogener Stoffe, insbesondere biologischer Körper bei verschiedenen Temperaturen und verschiedenen Frequenzen. Annalen d. Physik, Bd. 40, 509, [1941]. 5 Drude P.; Wiedemanns Annalen 61, 466, [ 1897]. * Zahn H.: Ein neues Meßprinzip zur Untersuchung der DK gutleitender Substanzen. An- nalen d. Physik, Bd. 80, 182, [1926]. 7 Hellmantn H.: Eine Absolutmethode zur Messung der Dielektrizitätskonstanten von Elektrolytlösungen bei Hochfrequenz. Annalen d. Physik, Bd. 19, 623, [1934]. 8 Pracher A.: Eine neue absolute Methode zur Bestimmung der hochfrequenten Leitfähig- keit von wässrigen Elektrolyten. HF-Technik u. Elektroakustik, Bd. 69, 157, [1942]. * Knol K. S. und Strutt M. J. 0.: Über ein Verfahren zur Messung komplexer Leitwerte im Dezimeterwellengebiet. Physica IX, 577, [1942]. 10 Roosenstein H. O.: Die Fortleitung hochfrequenter elektrischer Schwingungsenergie. Jahrb. d. drahtl. Tel. u. Tel., 36, 81 und 121, [1930]. 11 Schmidt O.: Das Paralleldrahtsystem als Meßinstrument in der Kurzwellentechnik. HF- Technik u. Elektroakustik, Bd. 41, 2, [1933]. 12 Dahme A.: Dämpfungsmessungen an Kabeln im Bereiche der Meterwellen. HF-Technik u. Elektroakustik, Bd. 62, 1, [1938]. 13 Küster W.: Über Messungen der dielektrischen Eigenschaften keramischer Isolierstoffe bei Zentimeterwellen. HF-Technik u. Elektroakustik, Bd. 59, 129, [1942]. 14 Ditl A.: Beitrag zur Messung der Übertragungseigenschaften konzentrischer Leitungen im Dezimeterwellengebiet. HF-Technik u. Elektroakustik, Bd. 60, 2, [1942]. 15 Kaufmann H.: HF-Technik u. Elektroakustik, Bd. 65, 37, [1940]; Telegr. Techn. 29, 325, [1940]. 16 Brück L.: Widerstandsmessung bei Dezimeterwellen. Telefunken-Röhre, 60, [1943]. 17 Weissfloch A.: Ein Transformationssatz über verlustlose Vierpole und seine Anwendung auf die experimentelle Untersuchung von Dezimeter- und Zentimeterwellen-Schaltungen. HF-Technik u. Elektroakustik, Bd. 60, 67, [1942]. 18 Meinke H.: Stoßfreie Bauelemente konzentrischer Leitungen bei hohen Frequenzen. HF- Technik u. Elektroakustik, Bd. 61, 145, [1943]. 19 Feldkeller R.: Einführung in die Vierpoltheorie der elektrischen Nachrichtentechnik, 2. Auflage, Leipzig [1942]. 20 Kaden H.: Die Dämpfung und Laufzeit von Breitbandkabeln. Archiv f. Elektrotechnik, Bd. 30, 11, [1936], 21 Sommer F.: Über die Auswertung von Leerlauf- und Kurzschlußmessungen an homogenen Leitungen. ENT, 16, 127, [1939]. 22 Untermann G.: Messung der elektrischen und magnetischen Konstanten von Kunststoffen bei Ultra-Hochfrequenz in der konzentrischen Meßleitung. Frankfurter Dissertation, [1944]. 23 Becker R.: Theorie der Elektrizität. Bd. 1, 11. Auflage, Teubner, Leipzig [1941] 24 Vilbig F.: Lehrbuch der HF-Technik. 2. Auflage, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig [1939]. 21 KAPITEL II. THEORETISCHE BEHANDLUNG DER RESONANZVERFAHREN ZUR BESTIMMUNG KOMPLEXER WIDERSTÄNDE UND MATERIALIEN BEI DEZIMETERWELLEN. 1. Einleitung. Meßmethoden zur Bestimmung komplexer Widerstände, die auf den Resonanz- eigenschaften von Schwingkreisen beruhen, sind im mittleren Frequenzgebiet be- kanntlich vorwiegend in Gebrauch. Im Dezimeterwellenbereich dagegen ist dies nicht der Fall. Die meisten Arbeiten, die sich mit der Meßtechnik mit Hilfe von Lecherleitungen in offener und geschlossener Ausführung beschäftigen, setzen keine Abstimmung der Leitung auf Resonanz voraus. Das Studium der Resonanzkurve wird hierbei ersetzt durch eine Aufnahme der Spannungsverteilung längs der Leitung1. Hierbei ist insbesondere die Untersuchung des Minimums unerläßlich. Die Ausmessung des Minimums ist nun zweifellos mit wesentlich größeren Fehler- möglichkeiten behaftet als die bei einer Resonanzmethode an ihre Stelle tretende Messung der Resonanzkurvenhöhe und -breite. Dies gilt umso mehr, je geringer dämpfend der zu untersuchende Widerstand wirkt. Der Hauptgrund für die Ent- wicklung des jetzt üblichen „Abtastverfahrens“ ist in seiner einfachen mathemati- schen Grundlage zu erblicken. Es liegen mehrere Untersuchungen vor, die das Re- sonanzverfahren unter einschränkenden Voraussetzungen, z. B. der kleiner Kurven- breite, behandeln2. In der vorliegenden Arbeit wird eine umfassende theoretische Untersuchung durchgeführt mit dem Ziel, eine Form des Resonanzverfahrens zu finden, für die sich besonders einfache, allgemein gültige Beziehungen ergeben. Einleitend soll dargelegt werden, welches die Grenzen der oben erwähnten Reso- nanzmethoden auf quasistationärer Grundlage sind. 2. Grenzen der Anwendbarkeit quasistationärer Resonanzmethoden Es sei der meist interessierende Fall des parallelgedämpften Kreises behandelt. Solange quasistationäre Verhältnisse vorliegen, gilt für die abgebildete Schaltung die Beziehung V2 = 2 Zr* , / 2 T rl U2 ’ o)1{ar L (J — l)2 wenn durch induktive Erregung eine Spannung V in L eingespeist wird. Die Beziehung (1) folgt leicht aus der Proportion V: E = \Rl + Rc\ ■ \Rc\> wenn mit RL und Rc die komplexen Wider- stände von L und dem mit R belasteten C bezeichnet werden. Wird die Besonanz durch (7-Variation erzielt, so gilt im Resonanzfall co2 LC0 = 1 (la) und AC 1_ C ~ Reo Co’ ( } 1 Siehe z. B. die Arbeiten von G. Schmidt, Hochfr. u. Elektroakustik 41, S. 2—16, [1933]; K. S. Knol u. J. O. Strutt, Physica IX, Nr. 6, S. 577—90, [1942]. 2 Z. B. H. Brück, Telefunken-ZS, [1943], Abb. 1 22 worin AC die (7-Veränderung angibt, die erforderlich ist, um E2 auf den halben Resonanzwert abfallen zu lassen. Mit Hilfe der Gleichungen (la) und (1b) lassen sich C und R bestimmen, wenn der festen Kapazität C eine variable Kapazität Cy parallel geschaltet wird. Bei kleiner Wellenlänge wird man zwecks Herstellung quasi- stationärer Verhältnisse die Zuleitungen zur untersuchenden G-Ä-Kombination möglichst klein gestalten. Es ist aus diesem Grunde vorteilhaft, Cy fortfallen zu lassen und die Resonanz durch co-Variation einzustellen. Wie Differentiation des Nenners von Gleichung (1) zeigt, gilt in diesem Falle die Resonanzbedingung oo0 = 1 — (lc) VLC\ 2 R*G Die co0 zugeordnete maximale Spannung E hat den Wert E, = 7\/9. , V L Vl Sie sinkt auf den 0,7fachen Wert, wenn cox + co2 ft>t — co2 _ 1 /l — X/4 R2 C nd] 2 Wo co0 R co0C V 1 — L/2 R2 C gilt. Darin sind co1 und co2 die beiden co0 benachbarten Kreisfrequenzen, für die E2 den halben Resonanzwert annimmt. In den Beziehungen (1c) und (Id) ist in prak- tisch allen Fällen L « 2 R2 G. Es genügt daher zur Abschätzung von R und C die Verwendung der Formeln ohne die Berücksichtigung der Glieder L/2 R2C und L\4 R2C. Mit den so ermittelten Werten geht man dann in die Wurzelglieder ein und erhält durch nochmalige Anwendung der vollständigen Beziehungen (1c) und (Id) R und C mit ausreichender Genauigkeit. Die angegebenen Beziehungen haben, wie gesagt, nur bei quasistationären Ver- hältnissen Gültigkeit. Bei mehr und mehr ansteigender Frequenz erfahren sie zu- nehmende Korrekturen. Dies sei im folgenden am Beispiel des verlust- losen Kreises erörtert. Der Kreis sei gemäß der Abbildung beschaffen, d. h. an eine sozusagen punktförmig konzentriert vorgegebene Kapazität sei als Selbstinduktion ein Draht- bügel der Länge 1 angeschlossen. Das Gebilde ist bekanntlich1 in Re- sonanz, wenn Abb. 2 tg2 I = Z Z cü (J 1 Siehe z. B. in der klassischen Arbeit über Dkudes 2. Methode, Wiedemanns Annalen 61, S. 466, [1897]. 2 U. a. ersichtlich in F. Vilbig, Lehrbuch der HF-Technik, Allgemeine Verlagsgesellschaft Leipzig, S. 108, [1939]. 23 Die Beziehung (If) umfaßt die bekannte Thomsonformel co2 L C = 1. Diese erhält man, wenn der tg-Ausdruck durch sein Argument ersetzt werden darf, bzw. wenn co L klein gegen Z bzw. 2 n l klein gegen A ist. Wird die Kapazität C durch Ein- bringen eines Dielektrikums in den Wert Cm übergeführt, so liefert der Quotient der dann gültigen Gleichung mit (If) den Wert (0»j L C com g~zT ft) . ft) L tgT In dem uns hier interessierenden Gebiet des Überganges vom quasistationären zum nichtquasistationären Zustand dürfen die tg-Werte nach den zweiten Gliedern ihrer Reihe abgebrochen werden: C_ ('(0=\2 1 + 3 (m”z) cm~ \ col 1 ( L\2 1 + 3 ("zJ Wegen der Kleinheit der ist dies identisch mit I=(^[ (lg) Man erkennt hieraus: Der Kreis arbeitet umso länger quasistationär, je geringer X von Xm bzw. C von Cm abweicht und je geringer l ist. Bei Kapazitätsbestimmungen hängen also die Grenzen des quasistationären Zustandes von dem Verhältnis der Kapazitäten, der Länge der Selbstinduktion und den durch sie und die absolute Größe der Kapazitäten bestimmten Werten X und Xm ab. Im folgenden soll an Hand von Meßergebnissen gezeigt werden, wie Untersu- chungen nach Gleichung (lg) verlaufen. Der L-Bügel bestand im vorliegenden Fall aus 3 mm starkem Messing, der Abstand a betrug 4 cm. I war durch Einfügen meh- rerer Zwischenstücke zwischen 7 und 13 cm veränderlich. An den Anschlüssen AA war der Kopf eines Röhrenvoltmeters ( TJTKT der Firma P. T. E.) zur Resonanz- anzeige aufgesteckt. Der Kreis war induktiv an den //.F.-Generator (SLD der Firma P. T. E.) lose angekoppelt. Bei den kürzeren Wellenlängen erwies es sich überdies als notwendig, zwecks Ent- kopplung eines durch das Röhren- voltmeter und die Verbindung AA gegebenen Kreises auf den Meßkreis und zwecks Vermeidung der hier- durch bedingten Bandfilterkurven die Verbindung AA durch aufsteck- bare Kurzschlußscheiben geringer induktiv zu gestalten. Der Konden- sator bestand aus zwei Kreisplatten von 2 cm Durchmesser, deren Ab- stand zwischen 2 und 5 mm ge- ändert werden konnte. Die zu unter- suchenden Proben werden zweck- mäßig auf denselben Durchmesser von 2 cm gebracht. Für die Kapazität eines solchen Kondensators gilt ohne Dielektrikum nach Kohlrausch Abb. 3 c=rä+h[ln w4+i]-o0+ft. 24 Wird das Dielektrikum in der skizzierten Form eingebracht, so multipliziert sich lediglich C0 mit e, da das Streufeld Cs praktisch unverändert bleibt. Somit wird Cm = B • C0 -)- Cs gültig. Aus den beiden letzten Gleichungen folgt Cm l, . Cs\ Cs n, , e~ C \l + cj Co' ( } Die Werte von Cs/C0 werden hierin nach der von Kohlrausch angegebenen Formel bestimmt. Sie betragen z. B. für r — 1 cm und d — 2 mm: 0,42, für d — 3 mm: 0,59 und d = 5 mm: 0,9. Man erkennt aus diesen Werten, daß man ohne die Er- fassung des Streufeldes stark verfälschte DK- Werte erhalten würde. In der Tabelle sind einige Meßergebnisse an Trolitulscheiben an- gegeben. Mit K ist der Korrekturfaktor der eckigen Klammer in Gleichung (lg) bezeich- net. Man erkennt, daß bei allen Wellenlängen die Störung des quasistationären Verhaltens zwischen 5 und 9 % beträgt. Die Schwan- kung der e-Werte läßt sich auf eine Un- genauigkeit der Frequenzeichung des ver- wandten Senders von etwa maximal 5 % zurückführen. Aus dem Vorhergesagten ergibt sich, daß es sehr gut möglich ist, mit Mikrokreisen bis zu Wellenlängen von etwa 70 cm herab zu arbeiten. Allerdings ist hierbei eine Erfassung der Störung des quasistationären Zustandes erforderlich. Dies ist bei nichtleitenden Dielektrika, wie gezeigt, leicht möglich. Der Versuch dagegen, die Beziehungen (1 c) und (Id) auf leitende Dielektrika zu erweitern, führt auf numerisch kompliziertere Formen. Somit erscheint es nicht zweckmäßig, quasistationäre Re- sonanzmethoden zur Bestimmung beliebig komplexer Widerstände im Dezimeter- wellengebiet anzuwenden. Es soll daher nunmehr auf die nichtquasistationären Resonanzverfahren eingegangen werden. 1 d l K e 7 cm 2 mm 104 cm 1,05 2,5 3 88 1,07 2,5 5 72 1,08 2,6 9 2 117 1,06 2,3 3 102 1,08 2,4 5 84 1,08 2,4 11 2 138 1,06 2,3 3 120 1,07 2,4 5 98 1,09 2,5 13 2 150 1,07 2,3 3 132 1,08 2,3 5 112 1,09 2,4 3. Überblick über die möglichen nichtquasistationären Resonanz- verfahren. Es liege eine Leitung in offener oder geschlossener Ausführung mit überall gleichem Wellen wider stand vor. Das eine Ende der Leitung wird durch einen verrückbaren Kurzschluß K, mit dessen Hilfe die Leitung zur Resonanz gebracht wird, abgeschlossen. Der zu bestimmende komplexe Widerstand sei am anderen Leitungsende angeschlossen1. Der Sender kann dann irgendwo zwischen 91 und K induktiv oder kapazitiv ankoppeln. Die durch ihn einge- speiste Spannung u findet zu beiden Seiten des Senders entsprechend den beiden Leitungsteilen einen beliebig komplexen Widerstand in Richtung 1 Der Fall, daß 91 nicht am Leitungsende sitzt, stellt keine Verallgemeinerung der Schaltung 4 dar, da hierbei dem 91 der Abb. 4 durch das weiterführende Leitungsende ein reiner Blind- widerstand SB parallel geschaltet wird und somit wieder die Schaltung 4 mit einem neuen Ab- schlußwiderstand 91' = 91SB/91 + 28 vorliegt. Abb. 4 25 Abb. 5 a) induktive Ersatzschaltung b) kapazitive Ersatzschaltung nach Sft und einen rein imaginären Widerstand nach der Kurzschlußbrücke hin vor, wenn die Eigendämpfung der Leitung vernachlässigbar ist. Im Falle induktiver bzw. kapazitiver Ankopplung ergeben sich somit die in Abb. 5 skizzierten Ersatzschaltungen. Bei induktiver Kopplung wird in die Leitung eine Spannung U induziert, für die der durch Verrücken von K variierbare rein imaginäre Leitwert j co Cv und der Eingangswiderstand des anderen Leitungsteiles (durch die R, G-Kombination dargestellt) in Reihe geschaltet vorliegen. Bei kapa- zitiver Ankopplung sind Cv und die R, parallel geschaltet und die Hochfrequenz-Spannung liegt über der Koppelkapazität (Tg an dieser Parallel- schaltung. Man ersieht hieraus, daß die kapazitive Kopplung ein (imaginäres) Element Cr mehr enthält und somit eine Untersuchung irgendwelcher Ströme und Spannun- gen der Schaltung in Abhängigkeit von Cy bei kapazitiver Kopplung schwieriger sein muß als bei induktiver. Aus diesem Grunde wollen wir uns im folgenden auf die Resonanzmethoden mit induktiver Senderankopplung beschränken. Wir werden dabei außerdem voraussetzen, daß die eingekoppelte Spannung U als konstant anzusehen ist, sich also mit Cy nicht ändert. Diese Voraussetzung ist immer dann erfüllt, wenn die Senderankopplung so locker ist, daß Zieherscheinungen nicht auf treten können. Bei induktiver Senderankopplung lassen sich die in Abb. 6 skizzierten fünf ver- schiedenen Anordnungen unterscheiden. Im Falle A sind Sender S und Empfänger E an der Kurzschlußbrücke angebracht und werden mit dieser verrückt. Der Empfän- ger muß bei dieser Anordnung ebenfalls induktiv koppeln, da am Kurzschluß ein Strombauch und Spannungsknoten vorliegt und infolgedessen dort nur eine Strom- messung möglich ist. Im Falle B sind Empfänger und Sender feststehend, wobei der Empfänger zwischen R und S angeordnet ist. Da die Spannungsverteilung zwi- schen und S durch 9t allein bestimmt wird, muß E einen zum an der Stelle S vorliegenden Eintrittsstrom proportionalen Wert messen. Der Proportionalitäts- faktor kann hierbei nicht abhängig sein von der Stellung der Kurzschlußbrücke. Dabei ist es gleichgültig, ob der Empfänger kapazitiv oder induktiv angekoppelt ist. Es genügt daher, den Eingangswiderstand (bzw. dessen reziproken Wert) zu unter- suchen, um die Eigenschaften der Resonanzkurve, die durch E bestimmt wird, zu erkennen. Im Falle D ist der Zusammenhang zwischen der durch E ermittelten Größe und dem Strom an der Stelle des Senders wesentlich komplizierter, da er von der Stellung der Kurzschlußbrücke abhängt. Da andererseits die Anordnung D in ihrem Aufbau keinerlei Vorzüge vor der Anordnung B auf weist, sei auf ihre ausführ- liche mathematische Diskussion verzichtet. Bei der Anordnung C steht der Sender fest, der Empfänger wird mit E verschoben und muß, wie im Falle A, induktiv koppeln. Der Fall E zeigt eine ähnliche Anordnung, nur sind Sender und Empfänger gegenüber Fall C vertauscht. Die Anordnung E ist gegenüber der Anordnung C vor allem dann von Nachteil, wenn die Zuleitung zur Koppelschleife S aus Energie- gründen mittels einer Resonanz Vorrichtung abgestimmt wird. Denn bei Verschie- 26 bung von K werden die Fortpflan- zungseigenschaften der von S über die Resonanzeinrichtung zum fest- stehenden Hochfrequenzgenerator führenden Leitungen infolge ihrer sich ändernden Lage eine Abände- rung erfahren, die eine beträchtliche Variation des Stromes in S zur Folge haben kann. Die Forderung einer konstanten Erregung der Leitung ist daher schwer zu erfüllen. Bei der Anordnung C können entsprechende Schwierigkeiten nicht auftreten, wenn durch zweckmäßige Verblok- kung eines bei E direkt angebrachten Gleichrichters die wegführenden Leitungen frei von Hochfrequenz sind. Außerdem ist auch im Falle E der Zusammenhang zwischen dem Eintrittsstrom an der Stelle S und dem Strom an der Stelle E kompli- ziert. Daher sei in Anbetracht der mathematischen Komplizierung und der erwähnten Schwierigkeiten ex- perimenteller Art von einer ausführ- lichen Behandlung des Falles E ab- gesehen. In den folgenden Abschnitten soll nun die ausführliche Behandlung der Resonanzmethoden A, B und C erfolgen. Abb. 6 4. Theorie der Resonanzanordnung, bei der Sender und Empfänger mit der Kurzschlußbrücke verschoben werden (Fall A). Sind Sender und Empfänger mit der an einem Leitungsende befindlichen Kurz- schlußbrücke fest verbunden (Abb. 6, Anordnung A), so ergibt sich folgendes. Be- zeichnet l die gesamte Leitungslänge, p den komplexen Spannungsreflexionskoef- fizienten des Abschlußwiderstandes 9t und y die Fortpflanzungskonstante der Lei- tung, so ist bekanntlich1 1 4- ue“2 der am Ort der Kurzschlußbrücke K vorliegende Eingangswiderstand der Leitung. Wegen der vorausgesetzten vernachlässigbaren Eigendämpfung der Leiter darf y = ja. = gesetzt werden. Wird zudem p in Betrag und Phase gemäß p — p ei

1 Wir verweisen auf H. Vilbig 1. c. 27 Nach Auftrennung des reellen und imaginären Anteils erhält man hieraus «j _ y 1 “ P2 + 1 * 2 P sin {cp.— 2 a l) /A^ Z 1 +p2 — 2Pcos(9> — 2 — 2x1) Re -Z 1 + p2 — 2 p C0S — 2 bei fester Stellung des Kurzschlusses K oder durch Verändern von l erreicht wird2. Experimentell ist die Resonanzeinstellung mittels Variation gün- stiger, da es nicht leicht ist, den Strom in der Koppelschleife S bei co-Veränderung konstant zu halten. Durch Einsetzen der Bedingung (4e) in Gleichung (4d) erhält man im Resonanzfall für den Eingangswiderstand den reellen Wert: (4 f) 1 + P Bekanntlich tritt der Quotient (1 — p)/(l + p) beim Abtastverfahren als Wellenver- hältnis W — U (min)/U (max) in Erscheinung. Es folgt somit: Der Resonanz- wert des Eingangswiderstandes Oie und damit auch der reziproke Wert des Resonanzstromes im Empfänger sind proportional zu dem Wellenverhältnis W, das bei der Abtastmethode definiert ist.Verfügt man über ein Normal, das die Bestimmung des Proportionalitätsfaktors erlaubt, so kann man also mit Hilfe der Beziehungen (4e) und (4f) Betrag und Phase des Abschlußwiderstandes 9? bestimmen. Wir werden jetzt sehen, daß sich durch Messung der Resonanzkurvenbreite der Besitz dieses (1 — p)/(l + p)-Normales erübrigt. Es sei nach dem Z-Wert gefragt, für den der Empfängerstrom um 1/ \r2 kleiner als der Resonanzstrom ist. Offenbar ist dies der Fall, wenn Re den Y2-fachen Reso- nanzwert annimmt. Aus Gleichung (4d) und (4f) folgt so die Bedingung 1 + f>a + 2 P 008 = 2 (4 ) 1 +P2 — 2P cos u + P) K Das Argument des cos-Gliedes ist dabei gleich cp — 2 a lv Darin ist lx der eine oder der andere der l-Werte, für die i2 — \ gilt. Wird durch lx —10 = A l die halbe Breite der Resonanzkurve A l eingeführt, wobei l0 der l-Wert der Resonanzleistung ist, so liefert die Anwendung des Additionstheorems der cos-Funktion wegen der Resonanzbedingung (4e) cos {cp — 2 ix.li) — cos (

2 bzw. p > 0,086 (4n) gilt. Bei kleinen p-Werten wird man daher wie beim Abtastverfahren vergehen und den Quotienten % (min) :i (max) bestimmen, bei größeren p-Werten dagegen ist die Ausmessung der Resonanzkurve zweckmäßiger, da dann das Minimum klein ist und seine Bestimmung demgemäß zunehmend schwieriger wird. Damit ist die weitverbreitete Ansicht, daß das Resonanz verfahren vorwiegend für wellenwiderstandsferne und das Abtastverfahren für wellenwider- standsnähere Widerstände brauchbar ist, widerlegt. Beide Verfahren sind vielmehr weitgehend gleichwertig. Sie gestatten die Bestimmung des Betrages des Reflexionskoeffizienten von sowohl durch Bestimmung des Quotienten aus einer Minimal- und Maximalablesung als auch durch Ausmessung einer Kurven- breite. Das Quotientenverfahren ist bei der Resonanz- und Abtastmethode vorwie- gend für die wellenwiderstandsähnlichen Widerstände geeignet, das Ausmessen der Kurvenbreite empfiehlt sich bei den wellenwiderstandsfernen Abschlußwerten von SR. Bei dem letzteren Verfahren für stark wellenwiderstandsungleiche Di-Werte dif- ferenziert sich nun allerdings der Gebrauchswert der Methoden. Das Resonanz ver- fahren ist hier der Abtastmethode stark überlegen, da 1. die Minima-Untersuchung des Abtastverfahrens in eine Maximumuntersuchung übergeht. Infolgedessen ist eine weniger große Empfindlichkeit des Empfängers notwendig und die Störanfälligkeit desselben geringer. Dieser wesentliche Vorteil ist umso größer, je mehr Dl vom Wellen widerstand ab weicht. 2. beim Resonanz verfahren die Meßleitung sich stärker als bei der Abtastmethode, bei der die Leitung im allgemeinen nicht in Resonanz ist, erregt und hierdurch ein weniger empfindlicher Empfänger notwendig ist. Viele Anordnungen, die dem Ver- fasser bekannt wurden und nach dem Abtastverfahren arbeiten, setzen sich durch Abstimmungsmittel, die an der Leitung angebracht sind, in den Besitz der Vorteile, die durch den Resonanzzustand gegeben sind. Solche Anordnungen verbinden die Mittel der Resonanzmethode mit denen des Abtastverfahrens, stellen daher kom- plizierte Aggregate dar, ohne alle Vorteile der Resonanzmethode aufzuweisen. 3. bei sehr geringen Dämpfungen die Bestimmung der Kurvenbreite wegen ihrer geringen Größe bei beiden Verfahren durch Meßfehler beeinflußt wird. Gerade in solchen Fällen ist das Resonanzverfahren, das auf der Gleichung (4f) beruht und mit der Bestimmung des Maximums der Resonanzkurve auskommt, wegen des be- sonders großen Maximumwertes einfacher und genauer. 4. Bei der Resonanzanordnung brauchen konzentrische Leitungen nicht geschlitzt zu werden. Die mit der exakten Führung des Abtastorganes verbundenen Schwie- rigkeiten und, damit zusammenhängend, der vor allem bei langen Leitungen er- forderliche Aufwand an Halterungen sind wesentlich geringer. 30 Der Nachteil des diskutierten Resonanzverfahrens ist darin zu erblicken, daß eine direkte Einwirkung des Senders auf den Empfänger schwer zu vermeiden ist. Sie kann verhindert werden etwa durch eine Anordnung, wie sie nebenstehend für eine Leitung in offener Bauweise skizziert ist. Die Sender- und Empfängerkoppelschleifen SS und EE kreuzen sich unter 90° und bilden mit der durch die Drähte einer Doppeldrahtleitung EL bestimmten Ebene einen Win- kel von 45°. Eine andere Möglichkeit besteht darin, Sender und Empfänger zu trennen und den Empfänger in A/2 Entfernung vom Kurzschluß so anzubringen, daß er sich in gleicher Weise wie dieser bewegt. Die diskutierte Resonanzmethode hat noch einen anderen Nachteil: Zur Aussiebung von Oberwellen wird die Zuleitung vom Sender zur Erregerspule S zweckmäßig abgestimmt. Wird nun die Kurzschlußbrücke mit der Spule S verschoben, so wird durch Änderung der Lage der Energieleitung die Abstimmung gestört und somit die Forderung konstanter Erregung der Leitung verletzt. Es sollen daher in den folgenden Abschnitten V und VI die Resonanzverfahren erörtert werden, bei denen die Spule S feststeht und vom Empfänger E räumlich getrennt angeordnet ist. Die Gleichungen (4f) und (41) bestimmen Re für den Fall der Abstimmung auf Resonanz und im Antiresonanzfall. Es ist außerdem von Interesse, Re zu berechnen, wenn cp — 2 a l — (2 n +1) n gilt, d. h. wenn um A/8 gegen den Resonanzfall ver- stimmt wird. Hierfür folgt aus Gleichung (4c) wegen sin (9?— 2 a l) =1 und cos (9? — 2 a l) =0 Abb. 7 R (lo + gj — Z . (4o) Dieser Wert ist das geometrische Mittel der bei Resonanz und Antiresonanz vorlie- genden Werte. Der Wert 1 — p/1 -j- p läßt sich daher aus den Stromwerten im Re- sonanzfall, Antiresonanzfall und dem dazu um A/8 verstimmten Zustand auf drei verschiedene Weisen bestimmen. Es gilt 1 — P 1 A (min) = i (min) = i (A/8) 1 + p ' »(max) i (A/8) % (max) Welche der drei Formen am zweckmäßigsten ist, muß von den jeweils vorliegenden 4-Werten abhängig gemacht werden. Bei kleinem Minimum z. B. wird die dritte Form, bei sehr geringer Welligkeit die erste vorzuziehen sein. 5. Die Resonanzanordnung mit feststehender Senderankopplung und festem Empfänger, letzterer zwischen Sender und Abschluß wider- stand (Fall B), Befinden sich Senderankopplung und Empfänger am gleichen Ort, so mißt der Empfänger den Eingangsstrom. In jedem Falle wird die Strom- und Spannungsver- teilung zwischen Di und S bis auf einen reellen Proportionalitätsfaktor bekanntlich allein durch SR bestimmt, wenn die Frequenz konstant bleibt. Beschränken wir uns daher im folgenden auf den Fall, daß die Resonanzabstimmung durch Längen- variation der Leitung erfolgt, so mißt (le ist konstant!)' der Empfänger einen zum Eingangsstrom und damit auch zum Leitwert l/SKe proportionalen Wert, wenn er sich zwischen SK und S befindet. Aus diesem Grunde genügt die Diskussion des Eingangs Widerstandes SKe, um das Verhalten des Empfängerstromes zu überblicken. 31 Abb. 8 Der Eingangswiderstand setzt sich hierbei aus den Teilwiderständen, die links und rechts von S vorliegen, additiv zusammen. Analog wie bei der Anordnung A folgt a> ry [1 — P2 +1 * 2 P sin {

1 + P2 — 2 p = (1 — p)2 > 0 für p 41 1 gilt* Der Fall p = 1 ist aber uninteressant, da er A l = 0 bedingt. 2. sin oil0 — 0 ist. Dies führt auf die Forderung optimaler Kopplung. 3. cos a l0 = 0 ist. Es liegt minimalste Erregung der Leitung vor, da sich S in einem Stromminimum befindet. Dieser Fall ist ebenfalls nicht von praktischem Interesse. In Übereinstimmung mit den qualitativen Überlegungen folgt somit: Die Resonanzkurve wird nur bei optimaler und minimaler Kopplung von S symmetrisch. Dieser Satz ist von großem praktischem Wert, denn aus ihm folgt, daß das Vorliegen optimaler Kopplung nicht nur am Maximalausschlag, sondern auch an der Symmetrie der Resonanzkurve erkennbar ist. Die Einstellung optimaler Kopplung ist auf jeden Fall zweckmäßig, denn die dann gültigenBeziehun- gen (4e) und (5i) gestatten in einfacher Weise die Bestimmung von p und y, während dies mit Hilfe der Gleichungen (5b) und (5h) schwierig ist. Die Brauchbarkeit der Methode B ist in hohem Maße davon abhängig, wie groß der Fehler der Beziehungen (4e) und (5i) wird, wenn eine geringe örtliche Verstim- mung des Senders S gegen den Ort optimaler Kopplung gegeben ist. Der Behand- lung der Frage nach den dann erforderlichen Korrekturen der Beziehungen (4e) und (5i) wollen wir uns nunmehr zuwenden. Zunächst sei die Frage erörtert, wie die gesamte Länge der Leitung im Resonanz- fall vom Ort der Ankopplung S abhängig ist. In Gleichung (5b) werde der Abstand der Koppelschleife S vom Ort optimaler Kopplung und die Änderung der Resonanz- länge l0 gegenüber dem Fall optimaler Kopplung eingeführt. Diese Größen seien mit A le und A lQ bezeichnet. Sie sind durch die Gleichungen le = le (opt.) + A l e\ l0 = l0 (opt.) + A l0 definiert und bedingen wegen der Beziehungen (5d) und (5f) für optimale Erregung sin {cp — 2 a le) = sin (2 a A le) cos ((p — 2ale) = — cos (2 a A le), (5k) 36 wie man durch Anwendung der trigonometrischen Additionstheoreme erkennt. Damit geht Gleichung (5 b) über in ■ A Ale A 7 sm 4 Tr -t— tg2„_2 = _r (61) + COS 4?r —T— 2 p A Die Korrektur, die die gesamte Leitungslänge bei nicht optimaler Erregung erfährt, hat natürlich den Wert A L = A le + A l0. Wird in Gleichung (51) A l0 also durch A L und A le ersetzt, so folgt durch noch- malige Anwendung des tg-Additionstheorems . 9 Ale a t . a sm2a—z— tg a A L —tg a A le _ A 1 +tgaJZf-tgaJZe 1+p2 . 0 Ale h cos 2a —j- und hieraus durch Auflösen nach tg a A L nach einigen Zwischenrechnungen das Ergebnis + AL [ l — ?\\ 0 Ale /K x tg2l,~r = ( rr^rs2*— (5m) Auch hier tritt also p nur in der vom Abtastverfahren her bekannten Form als 1 — p Wellenverhältnis W = -——- auf. Gleichung (5 m) entnimmt man, daß A Zund A le 1 + P vorzeichengleich sind und daß A L kleiner als A le ist. Und zwar ist der Unterschied zwischen AL und A le umso größer, je größer p ist. Im Falle p = 1, d. h. bei sehr spitzen Resonanzkurven (Gleichung 5h!), wirdzJ L gleich Null, d.h. bei Messungen mit nicht dämpfenden Widerständen iK ist die gesamte Leitungslänge unabhängig vom Ort der Ankopplung. Dieses Ergebnis war bereits weiter oben qualitativ gewonnen und anschaulich verstanden worden. Die Funktion (5m) ist in der umstehend folgenden Abbildung 11 dargestellt. Und zwar ist der praktisch vorwiegend wichtige Bereich kleiner A Z/A-Werte abgebildet. Nunmehr sei untersucht, wie die Resonanzkurvenbreite von der Verstimmung des Senders S gegen den Ort optimaler Kopplung abhängt. Dies erfordert den Ersatz der Größe l0 in Gleichung (5h) durch le. Zu diesem Zweck werden zunächst die trigo- nometrischen Funktionen sin a l0 und cos a l0 durch tg a l0 ersetzt tg2 *~[(1 + P2 — 2pcos)(l +tg‘ocl,)±(l-f>)tgd,] = ±(1 — P2) (Sn) und dann für tg a l0 mit Hilfe von Gleichung (5b) ein nur von cp — 2 oc le abhängiger Ausdruck eingeführt. Es folgt für den eckigen Klammerausdruck ri t , 2 o , 4p2sin2i: (1 —p2) 2Psin [•■] — 1 + P2 — 2 P cos +- — 1 + p2 — 2 p cos Führt man auf der rechten Seite der Beziehung (5n) an Stelle von 1 — p2 den Wert 1 — p -—j—ein, so ist die eckige Klammer zu ersetzen durch den Ausdruck 1 + P 37 Abb. 11 38 2 p (1 + cos) | 4 p2 sin2 + (1 — p2) 2 p sin (1 + p)2 + (1 + P)2 (1 + P2 —2 p cos) = 1 — p —— (1 + cos) + sin l-2pk=ii±i 1+P 1+P2 — 2p cos Man erhält so als Endergebnis einen Ausdruck, der die durch nicht optimale Kopp- lung bedingte Korrektur der Beziehung (5i) leichter erkennen läßt, als dies die Be- ziehung (5h) gestattet: 1 — P A 7 i tTl +cos)±sm tg2* + =±i=f. A _ 1+p 1 + p2 — 2 p cos J 1+p Führt man hierin an Stelle des trigonometrischen Argumentes cp — 2 a le das Argu- ment 2 a A le ein, so folgt wegen der Beziehung (5 k) 1 p /, A le\ . . A le , , i-p1+"p( 0 t)± i-p tg2n— i ~2(r+-e jz— =r+r <5°) H l+p2+2pcos4jr— 1 P A In der folgenden Tabelle sind für verschiedene p- und A le-Werte die mit 100 mul- tiplizierten Beträge der jeweils beiden zugehörigen A l/k-Werte nach Gleichung (5o) berechnet. Durch Addition der beiden zu gleichem p und A le gehörigen A l-Werte erhält man die gesamte Kurvenbreite. In Abbildung 12 wird der Quotient dieser 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 > P 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0 0,84 1,76 2,77 3,9 5,1 6,5 7,9 9,4 10,9 12,5 0 0,84 1,76 2,77 3,9 5,1 6,5 7,9 9,4 10,9 12,5 0,025 0 0,85 1,79 2,86 4,1 5,4 6,8 8,3 9,9 11,3 12,5 0 0,84 1,73 2,71 3,8 4,9 6,2 7,5 9,0 10,7 12,5 0,05 0 0,86 1,84 2,94 4,2 5,7 7,3 8,9 10,5 11,8 12,5 0 0,83 1,70 2,64 3,7 4,7 5,9 7,3 8,8 10,5 12,5 • 0,075 0 0,87 1,87 3,05 4,5 6,1 7,9 9,7 11,3 12,4 12,5 0 0,82 1,67 2,58 3,6 4,6 5,8 7,1 8,6 10,4 12,5 0,10 0 0,88 1,92 3,20 4,8 6,7 8,8 10,9 12,4 13,0 12,5 0 0,81 1,64 2,51 3,5 4,5 5,6 7,0 8,6 10,5 12,5 A le 0,125 0 0,89 2,00 3,42 5,3 7,6 10,2 12,4 13,7 13,7 12,5 0 0,80 1,61 2,45 3,4 4,4 5,6 7,1 8,8 10,7 12,5 0,15 0 0,91 2,11 3,87 6,2 9,2 12,5 14,6 15,7 14,3 12,5 0 0,79 1,57 2,39 3,3 4,4 5,7 7,3 9,5 11,1 12,5 0,175 0 0,94 2,34 4,58 8,1 12,7 16,5 17,6 16,8 14,8 12,5 0 0,77 1,53 2,32 3,3 4,5 6,5 8,0 10,0 11,7 12,5 , 0,20 0 1,02 2,91 6,77 14,2 20,4 21,8 20,3 17,7 14,9 12,5 r 0 0,74 1,48 2,35 3,5 5,2 7,3 9,5 10,9 12,4 12,5 0,225 0 1,33 7,42 — — — 24,4 20,5 17,3 14,8 12,5 0 0,71 1,56 2,93 5,1 7,9 10,6 12,5 13,2 13,3 12,5 0,25 0 24,2 23,2 22,2 21,1 19,9 18,6 17,1 15,6 14,1 12,5 0 24,2 23,2 22,2 21,1 19,9 18,6 17,1 15,6 14,1 12,5 39 Kurvenbreite durch die Breite für gleiches p, aber optimale Erregung A le — 0 in Abhängigkeit von p mit A le als Parameter dargestellt. Die Abweichung dieses Quotienten vomWert 1 gibt uns den Relativfehler der für optimale Kopplung gül- tigen einfachen Beziehungen, der durch die in Wirklichkeit nicht optimale Kopp- lung bedingt wird. Man erkennt, daß er in Abhängigkeit von p einen maximalen Wert in der Umgebung von (1 — p) / (1 + p) = 0,5 erreicht. Ist A le nicht größer als A/20, so kann er nicht größer als 3% werden. Da für solch kleine A Ze-Werte die Tangensausdrücke der Beziehung (5 m) durch ihr Argument ersetzt werden dürfen, folgt: Für A le < A/20 wird die Resonanzkurvenbreite der Beziehung (5i) praktisch richtig bestimmt. Die Resonanzlänge der Leitung wird um den kleinen Wert AL — (1 — p/1 + p)2 A le falsch ermittelt. Hieraus folgt, daß kom- plexe Widerstände, die stark dämpfend wirken, besonders genau optimale Erregung erfordern. Diese Widerstände erkennt man an ihrer großen Kurvenbreite. Ist da- gegen die Kurvenbreite kleiner als A/50, so sind unter der in praxi immer erfüllten Voraussetzung A le < A/8 die durch nicht optimale Einstellung bedingten Fehler vernachlässigbar. Die Längenkorrektur ist dann kleiner als 0,1% der Wellenlänge (Gl. 5m) und die Kurvenbreite auf mindestens 1% genau bestimmt (Abb. 12). Wir wenden uns nun der Diskussion einer Resonanzmethode zu, die die Abhängigkeit von Resonanzkurvenbreite und Resonanzlänge vom Ort der Senderkopplnng S nicht auf weist. 6. Die Resonanzanordnung mit feststehender Senderankopplung und mit der Kurzschlußbrücke verbundenem Empfänger (Fall C). Wegen der gleichen Stellung des Senders wie im Falle B wird der Eingangswider- stand 9^e auch im Falle C durch Gleichung (5a) ausgedrückt. Jedoch ist der Empfän- gerstrom jetzt nicht mehr mit dem Eingangsstrom identisch oder proportional dazu. Da zwischen S und E die Verteilung durch K bestimmt wird (Abb. 9), gilt vielmehr für den Zusammenhang zwischen Empfängerstrom iE und Eintrittsstrom is is = % ' cos a l. (6a) Wegen is = U/dle folgt hieraus i = ——j • (6b) 3ie cos a L Aus Gleichung (6b) folgt, daß die Untersuchung von dle cos a l im vorliegenden Fall C der von dle im Falle B entspricht. Unter Weglassung des Argumentes cp — 2 a le gilt also: o, 7 v (1 — p2) cos a l ( 2 p sin • cos a l . \ dle cos a Z = Z ——r H I tj——2 ö F small • (6c) _ 1 + p2 — 2 p cos V1 + p2 — 2 p cos /_ Das Studium dieser Beziehung erscheint schwieriger als das der Beziehung (5 a), da nunmehr auch der Realteil von l abhängig ist und die Resonanzbedingung somit nicht einfach durch das Verschwinden des imaginären Teiles festgelegt wird. Indessen ergibt die Berechnung des Betrages von dle cos oc l einen einfachen Wert. Es folgt aus die cos a l2 __ Z (1—p2)2 cos2a 1+ 4 p2 sin2 cos2 a 1+ 4 p sin sin a l cos a l (1+p2—2 p cos)+sin2 a l (1 + p2—2 p cos)2 (1 + p2 — 2 p cos)2 wegen (1 — p2)2 cos2 a l + 4 p2 sin2 cos2 a l =‘cos2 a l [(1 + P2)2 — 4 p2 cos2] — cos2 a l (1 + p2 — 2 p cos) (1 -f p2 + 2 p cos) 40 Abb. 12 nach kurzer Zwischenrechnung unter Benutzung des Additionstheorems der cos- Funktion cos a l2 l+p2-f-2p cos {cp — 2 a l — 2 a le) Z 1 + p2 — 2 p cos {cp — 2 a le) Da l + h gleich der gesamten Leitungslänge L ist, ist dies identisch mit cos a l2 l+p2+2p cos {cp — 2 a L) , Z 1 -f- p2 — 2 p cos {cp — 2 a le) Resonanz liegt vor, wenn der Zähler möglichst klein wird, also wenn cos {cp — 2 a L0) = — 1 bzw. cp — 2 a L0 = (2 n + 1) n. (6e) Diese Bedingung ist identisch mit der der Anordnung A und mit der der Anordnung B im Falle optimaler Kopplung. Sie ist unabhängig davon, ob optimal erregt wird oder nicht. Dies ist als ein großer Vorteil der Resonanzanordnung C anzusehen. Im Resonanzfall gilt Jte cos q l2 _ (1 — p)2 ,ßfv Z 1 + p2 — 2 p cos {cp — 2 a U) Bei optimaler Erregung, für die die gleiche Bedingung wie im Falle B gilt, wird dieser Wert am kleinsten: 9k • cos a l = Z | ■ P • (6g) 1 + P Im Antiresonanzfall, d. h. im Falle größten Wertes die cos a l, muß cp — 2 a L = 2 n n gelten, d. h. die Antiresonanzstellen und die Resonanzstellen liegen in A/4- Abstand. Auch dies entspricht der im Falle A Vorgefundenen Situation. Es folgt hierfür aus Gleichung (6d) COS Od2 = (1 + P)2 Z max. 1 + P 2 — 2 p COS ( cp — 2 a le) Bei optimaler Erregung wird cos ccl = Z. Der Quotient der Beziehungen (6f) und (6 h) ergibt das von dem Ort der Ankopplung S unabhängige Resultat i (min.) _ % cos a l (min.) _ 1 — p ß. i (max.) cos a ?(max.) 1 + p Die Resonanzkurvenbreite 2 A l, die durch die Stromwerte i = 1/V2 i (max.) fest- gelegt wird, folgt aus der Vereinigung von (6d) mit (6f): 2(1 — p)2 1 + P2 + 2 p cos {cp — 2 a L) 1 + p2 — 2 p cos 1 + p2 — 2 p cos Hieraus folgt (1 — p)2 = 2 p + 2 p cos {cp — 2 a L). Wegen cos {cp — 2 a L) = cos {cp — 2ai0 — 2a zl l) = — cos 2 a Al 1 + cos {cp — 2 a jC) = 1 — cos 2 a A 1 = 2 sin2 a A l ist dies identisch mit sin2*T=±br (6k) 42 Aus Gleichung (6k) folgt weiter 1 + sin2 2 n~ = 1 = j1 + p)2. A 4 p 4 p Division dieser Gleichung mit der Beziehung für sin2 2 n A Iß liefert den Zusam- menhang von A Iß und 1 — p/1 + p: sm2 2 n —— A In der nebenstehenden Tabelle sind die A Iß-Werte des Verfahrens C in Abhän- gigkeit von p angegeben. Außerdem sind die Werte, wie sie sich bei den Resonanz- anordnungen A und B ergeben, zum Vergleich mitgeteilt. Man erkennt, daß bei geringer Dämpfung die drei Verfah- ren weitgehend übereinstimmende Er- gebnisse liefern. Für p > 0,7 ist die Über- einstimmung der A I-Werte auf wenig- stens 3% gesichert. Gleichung (6k) läßt außerdem erkennen: Die Resonanz- p A B C 0 0,125 0,1 0,190 0,1093 — 0,2 0,113 0,0936 0,1763 0,3 0,085 0,0786 0,1106 0,4 0,0665 0,0646 0,0786 0,5 0,0520 0,0512 0,0575 0,6 0,0392 0,0390 0,0416 0,7 0,0273 0,0278 0,0286 0,8 0,0176 0,0176 0,0178 0,9 0,0084 0,0084 0,0084 1,0 0 0 0 kurve ist symmetrisch, ihre Breite ist unabhängig vom Ort der An- kopplung s. Der Zusammenhang zwischen Resonanzkurvenbreite und p sowie der Zusammen- hang des Quotienten i (min);t (max) mit p (Gleichung 6 k und 6i) ist der gleiche wie er bei der Abtastmethode zwischen der Minimumbreite sowie dem Wellenver- hältnis mit p besteht. Dieses für alle p-Werte exakt gültige Ergebnis unserer Unter- suchungen ist nicht zufällig. Es rührt davon her, daß der Zähler der Gleichung (6 a) bis auf einen konstanten Faktor identisch ist mit der Spannungsverteilung, die bei dem Abtastverfahren gewonnen wird1 und der Nenner von Gleichung (6a) un- abhängig von L ist. Da aber der Zähler von Gleichung (6d) umgekehrt proportional zum Empfängerstrom ist, folgt das wichtige Ergebnis: Die bei Variation der Kurzschlußbrücke sich ergebende Längenabhängigkeit des rezipro- ken Wertes vom Empfängerstrom ist identisch mit der bei dem Ab- tastverfahren meßbaren Spannungsverteilung. Dieser Satz stellt eine Verbindung zwischen dem Resonanzverfahren C und dem Abtastverfahren her. Aus ihm folgen die bereits oben festgestellten Zusammenhänge zwischen Wellen- verhältnis sowie Minimumbreite und dem Stromverhältnis i (min): i (max) sowie der Resonanzkurvenbreite. Damit folgt weiter; Der einzige Unterschied zwischen der Abtastmethode und dem Resonanzverfahren C besteht in dem Ersatz der Aus- messung des Minimums durch die Untersuchung der Resonanzkurve. Alle Einzel- heiten der Auswertung sind dieselben, d. h. der mathematische Apparat zur Ermitt- lung von p und

— 2 ccl — {2 n +1) n . 9 Al 1-9 tg2”T=rrP entnommen werden. Außerdem gilt bei optimaler Erregung A + p\2 = R (opt)]3 _, \i —p/ LM/üJ und, ebenso wie im Falle A, R (opt) = Z • 1 + p Experimentell ist die optimale Erregung erkennbar an dem bei ihr vorliegenden besonders großen Resonanzwert des Empfängerstromes und an der, einzig bei ihr vorliegenden, Symmetrie der Resonanzkurve. Bei der Anordnung C steht S fest und E wird mit dem Kurzschluß verschoben. Diese Anordnung ist insofern als ideal zu bezeichnen, als sie die Nachteile der Fälle A und B vermeidet und in experimentell besonders einfacher Weise die Freihaltung der Empfängerableitung von Hochfrequenz ermöglicht. Für die Resonanzkurven- breite, den Wert i (min): i (max) und die Phasenbeziehung gelten die gleichen For- meln wie beim Abtastverfahren: /I + p\2 _ f i (max) I2 _ 1 \l-pj [ i (min) J aia>2^ 9o — 2 a l — (2 n -j~ 1) n. Dies rührt daher, daß die durch Ortsvariation des Kurzschlusses feststellbare Län- genabhängigkeit von 1 ji identisch ist mit der Spannungsverteilung, wie sie bei der Abtastmethode ermittelt wird. Es besteht hier also eine starke formale Überein- stimmung mit der Abtastmethodik, wobei allerdings eine Minimumbreitenmessung durch eine Resonanzkurvenuntersuchung zu ersetzen ist. In der Arbeit werden die Vorteile der Resonanz verfahren gegenüber der meist üblichen Methode der Spannungsabtastung dargelegt. Insbesondere wird nachge- wiesen, daß die weitverbreitete Ansicht, nach der Resonanzverfahren bei wellen- widerstandsnahen Abschlußwiderständen ungeeigneter als das Abtastverfahren sein sollen, falsch ist. 45 Kapitel III. EINE RESONANZANORDNUNG ZUR MESSUNG KOMPLEXER WIDER- STÄNDE UND ELEKTRISCHER SOWIE MAGNETISCHER STOFFKON- STANTEN IM DEZIMETERWELLENBEREICH. 1. Einleitung. Weiter oben1 wurde gezeigt, daß Messungen zweckmäßiger nach dem Resonanz- verfahren durchgeführt werden als nach dem „Abtast“-Verfahren, bei dem die Spannungsverteilung längs einer Doppelleitung aufgenommen wird. Der Grund für die Überlegenheit des Resonanzverfahrens ist in der Tatsache zu sehen, daß bei stark vom Wellen widerstand der Resonanzleitung abweichenden Abschluß wider- ständen die Untersuchung des kleinen Minimumwertes, die bei der Abtastmethodik erforderlich ist, durch eine Untersuchung der Resonanzkurve in der Nähe des Maxi- mums ersetzt wird. Bei wellenwiderstandsnahen Endwiderständen ist nicht, wie oft behauptet, das Resonanzverfahren unterlegen, da hier ebenso wie bei der Ab- tastmethode durch Bestimmung des Quotienten aus einem Minimal- und Maximal- wert und durch Bestimmung der Lage der Spannungs- oder Stromverteilung der End widerstand ermittelt werden kann. Besonders eine bestimmte Resonanzmethode, bei der der Sender induktiv angekoppelt und der ebenfalls induktiv angekoppelte Empfänger an der die Leitungslänge variierenden Kurzschlußscheibe angebracht ist, war als vorteilhaft erkannt worden. Bei dieser Anordnung ist der reziproke Wert des Empfängerstromes in gleicher Weise längenabhängig wie die Spannungsver- teilung, die bei der Abtastmethode gefunden wird. Diese Anordnung vereinigt alle Vorteile der Resonanz- mit denen der Abtastmethode. Im Laufe der Untersuchungen über die dielektrischen Eigenschaften biologischer Körper und künstlicher ähnlich gebauter Stoffe hat der Verfasser eine Resonanz- anordnung aufgebaut, die sich in ihren meßtechnischen Eigenschaften im Laufe der Untersuchungen gut bewährt hat und bei der alle Erwartungen und Schlußfolgerun- gen aus den in Kapitel II entwickelten theoretischen Vorstellungen verifiziert werden konnten. Die Anordnung wurde für Messungen im Wellenlängenbereich von 40 cm bis 3 m entwickelt und gestattet die Untersuchung fester und flüssiger Substanzen sowie die Bestimmung beliebig komplexer Widerstände. Es soll auf die Fragen ein- gegangen werden, die mit der richtigen Bestimmung der Resonanzkurvendaten verknüpft sind. Wie man aus diesen Daten Betrag und Phase des Reflexionskoeffi- zienten am Probeneingang bzw. am komplexen Widerstand ermittelt, ist in der oben erwähnten Theorie der Resonanzkurve bereits niedergelegt. Desgleichen wurde in einer weiteren Arbeit2 über die zweckmäßigen Rechenmethoden berichtet, die es gestatten, aus dem Reflexionskoeffizienten auf die Materialkonstanten der unter- suchten Substanzen zu schließen. Aus dem Vorgesagten ergibt sich, daß wir neben der Beschreibung der Anordnung uns mit allen den Gesichtspunkten beschäftigen werden, die man berücksichtigen muß, wenn man fehlerfrei die Resonanzkurve aus- messen will. Dazu gehört die Frage der einwandfreien Anbringung der zu bestim- menden Widerstände, die Erfassung des Fehlers, der durch Leitungshalterungen bedingt wird, die Frage der Vermeidung von Gleichtakt wellen, Störung durch zu starke Ankopplung von Sender und Empfänger usw. 2. Beschreibung der Meßleitung. Die Meßleitung ist eine Doppeldrahtleitung in offener Ausführungsform. Die Drahtstärke beträgt 2 mm, der Abstand beider Drähte 15 mm. Die Einzelheiten der Anordnung werden zweckmäßig an Hand der Abbildungen erörtert. Das nicht zur 1 Siehe Kapitel II. 2 Siehe weiter unten Kapitel V. 46 Abb. 1 Messung benutzte Ende der Leitung endet in einem Wellen widerstand W. Damit wird erreicht, daß der jenseits der Kurzschlußbrücke K befindliche Leitungsteil sich nicht bei bestimmten Wellenlängen bzw. Einstellungen der Kurzschlußbrücke in Resonanz erregen kann, wenn, etwa infolge mangelhafter Beseitigung der Hoch- frequenz in der Leitung vom Empfänger E zum Galvanometer G, eine Hochfrequenz- welle in diesem Leitungsteil induziert wird. In der Abb. 1 ist dieses Ende detaillierter dargestellt. Der Wellen widerstand befindet sich in Form eines kleinen 15 mm langen Porzellankörpers mit leitender Bedeckung zwischen den etwas verdickten Leitungs- enden, die in Trolitulstücken T eingebohrt sind. Sein Kontakt mit den Leitern wird erreicht durch eine Feder, die die Trolitulstücke und damit auch die Leiter zusam- menpreßt. Die Trolitulstücke wiederum können über die zwei Messingstäbe M, die sie fortsetzen, jedes für sich mittels der Schrauben S nach dem Ende hingezogen werden. Auf diese Weise können Unterschiede in der Spannung der einzelnen Leiter ausgeglichen werden. Das Ganze kann mit der Flügelmutter angezogen werden, bis die Leitungsdrähte straff sind. Das andere Ende der Leiter wird durch eine Trolitul- scheibe (Abb. 3) festgehalten. Die Durchführung der Leiter durch diese Scheibe muß so beschaffen sein, daß keine Reflexion am Anfang derselben stattfindet. Dies ist der Fall, wenn der Wellen widerstand in der Halterung mit dem der Leitung übereinstimmt. Bekanntlich läßt sich das erreichen durch eine Verringerung des Leiterdurchmessers in der Halterung. Aus der Formel für den Wellen widerstand einer Doppeldrahtleitung (a Abstand, r Radius der Leiter) 120 a Z = —— ln - Ye r ergibt sich die folgende Bedingung für den Radius rH in der Halterung 1 , a , a —— ln— =ln - • Ve rH r Werden hierin die DK von Trolitul mit 2,5 und die Leitungsdaten a = 15 mm, r — 1 mm eingeführt, so folgt rB = 0,41 mm. Dementsprechend besteht die Durch- führung durch die Trolitulscheibe aus 0,4 mm starkem Stahldraht. Auf die Enden der beiden Drahtstücke sind je zwei Schräubchen hart aufgelötet, die 1,5 mm stark sind und in die 2 mm dicken Leiter eingeschraubt werden. Eine große Schwierigkeit besteht in der Herstellung eines einwandfreien und doch leichtbeweglichen Kontaktes der Kurzschlußscheibe. Bekanntlich ist die Anbrin- gung einer kapazitiven Vorschaltstrecke vor dem eigentlichen Kurzschluß günstig, da sie Schwankungen des Übergangswiderstandes an den Berührungsflächen mil- dert. Die Ausführung dieses Gedankens für konzentrische Leitungen ist in Abb. 4 skizziert. Die Schwierigkeiten, die sich bei dieser Ausführung zeigen, rühren daher, daß es nicht leicht ist, die einzelnen federnden Teile derWulste W gleichmäßig zum 47 Alaßstah:f'8^ Seitenriss. Aufsicht. Abb. 2 48 Anliegen zu bringen. Bei der von uns aufge- bauten Doppeldrahtleitung war die Ausfüh- rung eines guten Kurzschlusses leichter zu bewerkstelligen. In Abb. 5 ist der Kurzschluß dargestellt. Er besteht aus einer 40x40 cm großen Metallscheibe, die senkrecht zur Lei- tungsebene angeordnet ist und eine Kopplung des vom Sender erregten Teiles der Leitung zum Leitungsteil zwischen Wellen widerstand und Kurzschluß verhindert. Diese Scheibe ist auf der unteren von zwei massiven Messing- backen auf montiert. Die Messingbacken stellen eine Verbindung der Leiter mit äußerst ge- ringer Induktivität dar und reduzieren somit die galvanische Kopplung zwischen den Lei- terteilen vor und nach K auf ein Minimum. Während die untere Backe mit der Metall- scheibe auf einem leichtbeweglichen Schlitten fest verbunden ist, kann sich die obere Backe, Abb. 3 Abb. 4 durch einen Stift St geführt, in vertikaler Richtung bewegen. Sie wird mittels zweier Federn auf die zwischen beiden Backen befindlichen Leiter leicht angepreßt. Die einwandfreie Führung der Leitungsdrähte wird durch Rillen in den Backen erreicht, die ihren Querschnitt so ändern, daß den Kontaktstellen Kapazitäten vorgeschaltet sind. Der Schlitten, der den Kurzschluß führt, rollt auf dem Träger der ganzen Anord- nung, einem Holzbalken, und kann grob und fein mittels eines besonderen Radan- triebes eingestellt werden. In den Balken ist ein mit besonderer Sorgfalt herge- stellter Maßstab eingelegt, der mittels eines am Schlitten angebrachten Nonius die Stellung des Kurzschlusses auf 0,1 mm sauber zu bestimmen gestattet. An den beiden Balkenenden befinden sich Stützen, die die Trolitulhalterung und die Wel- lenwiderstandsanordnung in der skizzierten Weise festlegen. Der Empfänger besteht aus einem kleinen Drahtbügel B, der auf die Kurzschluß- scheibe 2 cm unterhalb der Leitungsdrähte aufgesteckt wird. Der eine Steckkontakt ist metallisch mit dem Kurzschluß verbunden, der andere ist isoliert und führt zu 49 Abb. 5 einer Patrone P, die in den Schlitten so tief geschraubt wird, daß die Berührung mit dem isolierten Kontakt hergestellt ist. Die Patrone enthält einen Detektor D und eine Kapazität C, die von der Galvanometerzuleitung Hochfrequenz fernhalten soll. Es liegt somit die in Abb. 6 angegebene Gleichrichtung vor. Bei der Herstellung der Patronenkapazität war besonders zu beachten, daß die Zuleitungen derselben zur Masse und zum Detektor wegfallen müssen. Solche Zuleitungen hätten wegen ihrer wenn auch geringen Selbstinduktion den Hochfrequenzwiderstand der Kapa- zität bei den zur Verwendung kommenden hohen Frequenzen so erhöht, daß die Verblockung sinnlos geworden wäre. Die Verblockung wurde so durchgeführt, daß der stabförmige kleine Detektor1 mit einem System von Zylindern innig umgeben wurde, die gegeneinander durch dünnes Ölpapier isoliert waren. Der Drahtbügel, in dem die gleichzu- richtende Hochfrequenzspannung induziert wird, kann gegen Bügel anderer geometri- scher Abmessungen ausgewechselt werden. Auf diese Weise ist es möglich, die Kopplung des Empfängers und damit auch den Galva- nometerausschlag zu verändern. Hierbei ist allerdings auf folgendes nachdrücklich hinzu- weisen : Bekanntlich eliminiert man die Eigen- dämpfung der Leitung, indem man sie sich durch einen Widerstand verursacht denkt, der dem zu untersuchenden Objekt beige- schaltet ist, und der in einem „Leerver- such“ ohne Objekt bestimmt wird. Dies Ver- fahren ist möglich, wenn der die Eigendäm- pfung der Leitung verursachend gedachte Widerstand nicht abhängig von den Betriebs- daten der Leitung ist. Bei zu starker Kopp- lung des Empfängers ist nun der Beitrag des- selben zur gesamten Dämpfung der Leitung nicht mehr unerheblich. Da die Kennlinie des Gleichrichters aber nicht linear ist, folgt eine Abhängigkeit der Dämpfung vom Empfangsstrom. Damit wird die Durchführung eines Leerversuches zur Ermittlung der Eigendämpfung wegen des dann vorliegenden veränderten Erregungszustandes Abb. 6 1 Für den verwandten Zweck waren besonders die Detektoren der Firma K. Maier, Eislingen, günstig. 50 der Leitung sinnlos. Es ist daher zu fordern, daß die Kopplung des Empfängers so gering ist, daß eine Beeinflussung der Eigendämpfung der Leitung nicht statt- findet. Entsprechendes gilt für den Sender: Wird die Kurzschluß brücke zwecks Erfassung der Besonanzkurvenbreite und -höhe verschoben, so ändert sich damit auch die durch den Kurzschluß festgelegte Stromverteilung zwischen diesem und der Sender- kopplung. Dies hat zur Folge, daß die Senderankopplung an verschiedenen Stellen dieser Stromverteilung erfolgt und somit verschieden stark ist". Mit der Stärke der Ankopplung wiederum ändert sich der durch den Sender in die Leitung eininduzierte Dämpfungsanteil. Aus den oben bereits besprochenen Gründen ist dafür zu sorgen, daß dieser nicht konstante Anteil an der Gesamtdämpfung so klein ist, daß er jene nicht merklich beeinflußt. Daher darf die Senderankopplung nicht zu stark sein. Wir haben experimentell die Kopplung so lange verringert, bis keine Abhängigkeit der Gesamtdämpfung (gemessen durch die Besonanzkurvenbreite) von der Stärke der Kopplung mehr vorlag und trotzdem eine ausreichend kräftige Erregung der Leitung stattfand. Dabei war noch etwas zu berücksichtigen; Die bereits oben er- wähnte Theorie liefert einfache Ergebnisse für den Fall rein induktiver Kopplung. Aus diesem Grunde mußten wir eine kapazitive oder gemischt induktiv-kapazitive Kopplung vermeiden. Eine solche liegt aber immer dann vor, wenn die Länge des Drahtes der Koppelschleife nicht klein gegen A/4 ist, da sich im Gegenfalle zwi- schen den Enden der Schleife bereits eine merkliche Spannung befindet, die kapazitiv die Leitung erregt. Für uns bedeutet dies, daß die Schleife aus einem Draht gebogen sein muß, der weniger lang als 10 cm ist bzw. daß der Badius einer kreisförmig gebogenen Schleife kleiner als 1,3 cm sein muß. Welche Möglichkeit besteht nun fest- zustellen, ob die Kopplung tatsächlich rein induktiver Art ist ? In der erstzitierten Arbeit wurde gezeigt, daß bei rein induktiver Kopplung das Besonanzmaximum seinen optimalen Wert erreicht, wenn die Entfernung zwischen Kurzschlußbrücke und Ort der Ankopplung ein ganzzahliges Vielfaches von A/2 beträgt, d. h. wenn in einem Bauch der Stromverteilung gekoppelt wird. Bein kapazitive Kopplung liefert den optimalen Befeonanzwert bei einem Abstand von (2 n -f- 1) A/4, also bei Kopp- lung in einem Bauch der Spannungsverteilung. Liegt der optimale Besonanzwert zwischen diesen Stellen vor, so hat man eine gemischte Kopplung. Um den Ort opti- maler Kopplung ermitteln zu können, muß man den Ort der Senderankopplung S verschieben, ohne den Strom in der Koppelschleife zu ändern. Dies wurde von uns in der Weise durchgeführt, daß der Balken, auf dem die Leitung befestigt ist, auf Bollen montiert wurde. Die Senderkopplung S dagegen ist horizontal unverrückbar angebracht. Bei dieser Anordnung erfährt die Zuleitung vom Generator zur Schleife S keine Änderung ihrer Lage und die Forderung konstanten Stromes in S ist daher erfüllt. Die ersten Versuche mit größeren Koppelspulen ergaben die optimale Er- regung an einer um etwa A/8 gegen den geforderten Ort verlagerten Stelle. Durch Verkleinerung der Schleife gelang es dann sehr bald, die gewünschte rein induktive Kopplung zu erzielen. Bei der endgültigen Ausführung kann die Koppelschleife durch vertikale Verstellung auf zweckmäßigen Abstand von der Leitung gebracht werden. Die Schleife hat einen Durchmesser von nur 1,5 cm und ist kreisförmig gebogen. Mit ihren Enden ist sie an ein konzentrisches Leitungsstück angelötet. Von der konzentrischen Leitung geht es über eine ebenfalls konzentrisch ausge- führte Abstimmleitung und ein Kabel zum Hochfrequenzgenerator. Mit Hilfe der Abstimmleitung, deren Länge durch einen Posaunenzug variiert werden kann, wird die gesamte Leitung vom Sender zur Schleife S auf Besonanz abgestimmt und damit eine wesentliche Erhöhung der Energiezufuhr zur Lecherleitung erzielt. Bei zu star- ker Kopplung des Senders mit dieser Abstimmleitung bilden beide ein eng gekop- peltes System zweier Kreise. Infolgedessen ist dann die Besonanz, die man bei Va- riation der Abstimmleitung erhält, nicht mehr eindeutig, sondern durch eine Kurve mit zwei Maxima ersetzt. Bekanntlich erreicht der Sekundärstrom eines gekoppelten 51 Systems große Werte, wenn die Kopplung so lose gestaltet wird, daß die beiden er- wähnten Maxima sich zu einem vereinigen. Wir haben daher bei unserer Anordnung zwischen den Sender (Type SED der Firma PTE.) und die Abstimmleitung eine variable Kapazität geschaltet, mit deren Hilfe die Gestalt der sekundären Reso- nanzkurve günstig geformt wird. Die ganze Anordnung geht aus der Abb. 7 hervor. Der Sender befindet sich in halber Höhe unter der Tischplatte, auf der die Leitung angebracht ist. An der Vorderseite des Tisches, unter der Leitung, ist der Posaunen- zug so angebracht, daß er und die Leitung von einem Platz aus bedient werden können. Von diesem Platz aus werden also Galvanometerablesung, Kurzschlußein- stellung und Einstellung optimaler Erregung durch Verschieben der Leitung vor- genommen. Abb. 7 Infolge des geringen Abstandes beider Leiter ist die Abstrahlung trotz der offenen Bauweise gering. Die durch sie bedingten Verluste und die ohmschen Verluste in den Leitern sind zusammen bei einer Leitungslänge von 1,5 m etwa gleich groß wie die Verluste in der Halterung am Leitungsende. Die vielfach anzutreffende offene Ausführung mit dickeren Leitern und größerem Abstand ist nicht vorteil- haft, da die gegenüber unserer Ausführung vorliegende Verringerung der ohmschen Verluste mehr als wettgemacht wird durch die wesentlich größere Abstrahlung. Diese letztere aber ist besonders unangenehm, da sie eine unter Umständen nicht unerhebliche Empfindlichkeit der Anordnung gegen äußerfe Einflüsse bedingt. Bei unserer Anordnung war bei allen Wellenlängen der störende Einfluß des Bedie- nungspersonals so gering, daß zusätzliche Abschirmungsmaßnahmen desselben sich erübrigten. Der geringe Drahtabstand hat einen weiteren Vorteil: Infolge des wenig ausgrei- fenden Feldes ist die Gefahr der Erregung beider Leiter gegen Erde oder einen sonsti- gen dritten Leiter gering. Die Erregung einer solchen „Gleichtaktwelle“ ist ohnehin nicht sehr zu befürchten, da die Resonanzabstimmung der Leitung eventuelle Gleichtaktwellen stark benachteiligt. Hierin ist ein weiterer Vorteil der Resonanz- methode zu erblicken. Wir haben bei unserer Anordnung keinen Hinweis auf die Existenz einer Gleichtakt welle erhalten können. 52 Den Leiterabstand andererseits noch mehr zu verringern als es bei der von uns aufgebauten Anordnung der Fall ist, ist nicht nur unnötig, sondern auch unzweck- mäßig, da die Anfertigung gut sitzender Probenstücke und die einwandfreie Führung der Kurzschlußbrücke dann zunehmend Schwierigkeiten bereitet. 3. Vergleich der Anordnung mit einer konzentrischen Leitung, die nach dem Abtastverfahren Messungen gestattet. Auf die Vorteile der Resonanzmethode gegenüber der „Abtastmethode“ wurde bereits oben eingegangen. Die erörterten Vorteile ergaben sich aus Unterschieden in der Meßmethode. Hier wollen wir auf Dinge, die mit dem Aufbau der Leitung Zusammenhängen, eingehen. Eine Leitung, die nach dem Abtastverfahren arbeitet, muß notwendigerweise konzentrisch ausgeführt werden. Im Gegenfalle bedingt die mögliche Störung durch das Abtastorgan und dessen Schaltung und vor allem das Auftreten von Hochfrequenz in der vom Abtastorgan fortführenden Stromleitung zum Galvanometer große Unannehmlichkeiten. Die Freihaltung dieser Galvano- meterzuleitung von unerwünschten Strömen ist deshalb wesentlich schwieriger als bei der oben beschriebenen Resonanzanordnung, weil sie ihrer Aufgabe gemäß nicht nur bis zum Ende der Meßleitung, sondern zum Punkt der Spannungsabnahme ge- führt werden muß. Eine konzentrisch aufgebaute Leitung bedingt einen wesentlich größeren mecha- nischen Aufwand als die beschriebene Anordnung. Sie erfordert größte Präzision vor allem in der Führung des Abtastorganes und in der Wahrung überall gleichen Abstandes desselben vom Innenleiter. Aus diesem Grunde muß eine konzentrische Leitung, die in dem uns interessierenden Wellenlängengebiet von 40 cm bis 2 m Messungen gestattet, also mindestens 1,2 m lang ist, über zahlreiche Halterungen des Innenleiters verfügen. Die einwandfreie Herstellung solcher Halterungen ist mit viel Arbeit verbunden und sehr schwierig. Die Erfassung der durch sie bedingten Störungen ist ebenfalls kompliziert. Die von uns auf gebaute Leitung verfügt über nur eine Halterung. Sie ist am Leitungsende angebracht. Die durch sie verursachte Störung im Falle eines nicht ganz exakten Wellenwiderstand sabgleiches ist daher relativ einfach zu übersehen, wie an anderer Stelle ausgeführt wurde1. Die Erzielung eines längs der ganzen Leitung überall gleichen Wellen Widerstandes stellt dagegen kein Problem dar. Sie wird bei unserer Anordnung durch die Spannung, unter der die Leiter stehen, erreicht. Hier erweist sich die Verwendung relativ dünner Leiter als günstig, da stärkere Drähte schwerer zu strecken sind. Bei konzentrischen Anordnungen interessiert der Einfluß einer geringen exzentrischen Lage des Innen- leiters und der Einfluß des für die Abtastung der Wellenverteilung erforderlichen Längsschlitzes auf den Wellen widerstand. In den folgenden beiden Tabellen sind diesbezügliche experimentelle Untersuchungen niedergelegt, die an einer konzentri- schen Anordnung mit üblichen Daten mit ra — 30 mm und — 10 mm vorgenom- men wurden. Der Wellenwiderstand wurde durch Bestimmung der Selbstinduktion pro Längeneinheit mit dem L-Meßgerät der Firma PTE nach der Formel Z = cL bestimmt (c Lichtgeschwindigkeit, L Selbstinduktion pro Längeneinheit). Kontroll- versuche mittels (7-Messung nach der Formel Z = 1/cC erbrachten gleiche Ergebnisse. Aus den Werten ergibt sich zweierlei: 1. Ein Durchhang des Innenleiters von 1 bis 2 mm ändert Z um nicht mehr als 1 %. Die Abweichung des Innenleiters von der konzentrischen Lage beeinflußt also den Wellen widerstand nicht stark. 2. Der Ein- fluß des Schlitzes auf Z bei den üblichen Breiten von 2 bis 3 mm beträgt etwa 4 %, Interessant ist, daß dieser Einfluß bereits bei geringer Breite vorliegt und sich mit ansteigender Breite nur schwach verändert. Wenn man also schon schlitzen muß, so ist es fast gleichgültig, wie breit der Schlitz gewählt wird. Zusammenfassend folgt 1 Siehe Kapitel IV. 53 Einfluß der Exzentrizität auf Z Einfluß des Schlitzes auf Z Abw. d. Innit. v. d. konz. Lage Z Schlitzbreite Z 0 mm 66 ü 0 mm 66 1 66 1,2 67 2 65 2,3 68 3 64 3,4 69 4 62 4,5 69 5 59 6,6 69 6 56 7 50 8 42 hieraus: Eine Anordnung kann mit so wenig Halterungen auskommen, daß ein schwacher Durchhang des Innenleiters vorliegt, wenn kein Abtastorgan längs des Innenleiters geführt wird. Die Abtastung und der dazu erforderliche unangenehmere Schlitz kommen aber bei einer konzentrischen Resonanzanordnung in Fortfall. Will man also eine Leitung geschlossen aufbauen, so sprechen die vorgebrachten Gründe ebenfalls für eine Resonanzanordnung ohne Schlitz mit wejiig Halterungen. Bei einer konzentrischen Anordnung muß man das Ende der Leitung bekanntlich mit einer A/4 langen, ihrerseits am Ende kurzgeschlossenen Leitung abschließen, wenn man einen einwandfrei zu den Leitern senkrechten Feldverlauf sichern will. Wie groß ist die Störung, die entsteht, wenn diese Zusatzleitung nicht genau A/4- Länge hat? Da man die Dämpfung der A/4-Leitung vernachlässigen darf, ist ihr Eingangswiderstand imaginär. Ist l die Länge dieser Leitung, so gilt für ihn: dl = j Z tg 2n - = * A J O) C Die durch diese Gleichung definierte Kapazität G würde, an Stelle der A/4-Leitung angebracht, die Meßleitung genau so wie diese belasten. Wir wollen die Kapazität C mit der durch eine über das Ende der Meßleitung geschobenen Materialprobe der Dielektrizitätskonstanten s und der Dicke d bedingten Kapazität Gp vergleichen. Wird mit Gl die Kapazität der Leitung pro Längeneinheit bezeichnet, so gilt offen- bar Cp — ed Cl• Da andererseits bekanntlich Z = 1/cCl erfüllt ist, folgt hieraus Z=i-- c Cp und somit aus der obigen Beziehung für Dl 1 1 ed l ~~ c TTV tg2” r X Wird hierin die Länge l der A/4-Leitung durch die Abweichung x = - — l der Größe l von A/4 eingeführt, so erhält man 0 _ 1 X X Cp e 2ndig 71 X 54 Beschränken wir uns weiter auf den praktisch wichtigen Fall kleiner Verstimmungen gegen A/4, so geht dies über in C x C p G d Da die durch nicht exakte Einstellung der A/4-Leitung an die Meßleitung angelie- ferte Kapazität G der Probenkapazität Gp parallel geschaltet zu denken ist, gibt der Quotient CjCp direkt den durch Verstimmung der A/4-Leitung bedingten Relativ- fehler, der bei der Gp-Bestimmung entsteht, an. Er wird groß bei sehr dünnen Pro- ben. Wird z. B. ein leitendes Papier der DK 10 und der Dicke 0,1 mm untersucht, so wird die Kapazität dieses Papieres und damit auch dessen DK um 100 % falsch bestimmt, wenn die A/4-Leitung nach Anbringung der Probe um 1 mm falsch ein- gestellt wird. Daraus folgt: Die exakte Einstellung der A/4-Leitung ist umso wich- tiger, je dünner die untersuchte Probe ist. Ein Vorteil der von uns aufgebauten Leitung besteht darin, daß auf die Anbringung eines A/4- Abschlusses bei Leerlaufmessungen verzichtet wer- den kann, da das Streufeld am Ende der dünnen Leiter viel geringer ist als das bei einer konzentri- schen Anordnung mit offenem Ende der Fall wäre. In guter Näherung läßt es sich erfassen, wenn man annimmt, daß die Leiterdrähte ,rait zwei Halb- kugeln abschließen und deren Feld berechnet. Die Kapazität einer Kugel mit dem Radius 1 mm im unendlichen Raum ist G = 0,1 cm, die Kapazität zweier solcher Kugeln in unend- lich großem Abstand also G = 0,05 cm. Dieser Wert ist kleiner als der von zwei Kugeln im Abstand von 15 mm. Zu einer oberen Grenze G für die Kapazität letzterer ge- langt man, wenn man die beiden Kugeln mit 1 mm Radius mit zwei Kugelschalen, deren Radius gleich dem halben Leiterabstand ist, umgibt. Diese beiden Kugel- schalen werden sich dann genau in der Mitte zwischen den Leitern berühren müssen. Die Kapazität dieser Anordnung ergibt sich zu Abb. 8 G = - = l =0,058 cm. 2 rx — r2 2 0,65 Die Kapazität zweier Kugeln mit r = 1 mm und a = 15 mm liegt also zwischen 0,5 und 0,58 mm, die zweier Halbkugeln zwischen den halben Werten 0,25 und 0,29 mm. Die Kapazität der Doppeldrahtleitung pro Längeneinheit 1 mm hat den Wert C'l = — = = 0,0092 cm. , , a 9,2 • 1,176 4 ln - r Das Streufeld am Ende unserer Leitung kann also dargestellt werden durch eine Verlängerung derselben um 2,7 bis 3,2 mm. Die Streuzusatzkapazität von etwa 0,3 mm liegt mit und ohne Probe vor. Damit ist eine andere Situation gegeben als bei der Diskussion der falsch eingestellten zl/4-Leitung. Die dort abgeleitete Fehlerformel galt für den Fall, daß ohne Probe richtig, mit Probe eine falsche Einstellung der A/4-Leitung gegeben ist. Der Fehler, den man begeht, wenn man ständig die Leitung mit einer Kapazität belastet, ohne diese bei der Auswertung zu berücksichtigen, ist kleiner. Seine Bestimmung ist identisch mit dem Problem des Einflusses der am Leitungsende angebrachten Hal- terung. Die Diskussion dieses Problemes folgt in Abschnitt V. Dort werden wir uns daher auch wieder der Frage nach dem quantitativen Einfluß des Streufeldes zu- wenden. 55 4. Fragen der Probenanbringung. Wir wollen jetzt die Probleme behandeln, die bei Materialuntersuchungen mit der Anbringung der zu untersuchenden Probe an die Leitung verbunden sind. Die nächstliegende und meist gebräuchliche Art der Anbringung besteht darin, daß das Ende der Leitung vom Material möglichst gut umgeben wird. Außerdem kann man so verfahren, daß die zu untersuchende Substanz in einen kleinen Kondensator eingefüllt und dieser Kondensator an das Leitungsende angeschlossen wird. Bei der letzteren Methode sind die magnetischen Stoffkonstanten schwer erfaßbar, da deren Ermittlung den einwandfreien Kurzschluß am Ende der Probe erfordert. Dieser jedoch ist bei der erstgenannten Methodik so viel leichter als bei einem Kondensator zu bewerkstelligen, daß die Kondensa- tormethode nur für die Untersuchung „rein dielektrischer“ Proben (/* = 1, tg = 0) zur Anwendung kommen sollte. Wir wollen ihr einen besonderen Abschnitt widmen und uns hier mit den Problemen beschäftigen, die bei der erstge- nannten Art der Probenanbringung durch Überschieben des Materials über das Leitungsende entstehen. Abb. 9 Sowohl bei Leitungen in offener als auch geschlossener Bauform wird ein Fehler in der Angabe der Konstanten durch unvollkommenen Sitz bedingt. Es sei zunächst der Fehler bei DK-Bestimmungen an der Doppeldrahtleitung berechnet. Voraus- gesetzt werde, daß die durch unvollkommenen Sitz bedingten Luftlöcher konzen- trisch beide Leiter umgeben. Dann liegt mit der Kapazität bei einwandfreiem Sitz auf Leitern der Dicke r + x C\ = 4 ln ——— r -\-x die Kapazität der Luftpolster beider Leiter c2 = — 21n^ r in Reihe geschaltet vor; 1=1+1. c c/c, Unter Vernachlässigung des Luftpolsters würde man auf eine falsche DK e' schließen gemäß der Gleichung: p_ e'd 4^' r Zusammenfassung dieser Beziehungen führt zu 1, a , , r 4- x 1 , a -ln [-1 n = — ln - • e r 4- x r e' r , M „ (4 a) ln (l + -) e \ r ? = i+(£_i)— In r 56 Hierin wird zweckmäßig der Relativfehler der Größe e' eingeführt. Er ist definiert durch A s _ e — e' _ e e' e' e' Man erhält dann Ae ln( X~r — = (£-l) - ~(e-l) —• (4b) £ ln- lna r r Der Relativfehler bei DÜC-Bestimmungen ist also proportional e — 1 und, wenig- stens bei nicht zu großem Luftpolster, auch proportional zu x/r. Die Löcher in den Proben sind also umso sorgfältiger herzustellen, je größer die DK ist. Bei der Rechnung wurde eine konzentrische Lage der Leiter in den Probenlöchern vorausgesetzt. In Wirklichkeit werden die Leiter meist an einem Rand der Probenlöcher exzentrisch anliegen. Man wird ver- muten, daß dadurch die abgeleitete Beziehung keine allzugroße Korrektur erfährt. Zur Bestätigung dessen haben wir Messungen mit Igelitproben durchgeführt und die obenstehenden Ergebnisse für e' erhalten. Der Vergleich mit den ebenfalls angegebenen theore- tisch aus Gleichung (4 a) ermittelten Werten zeigt, daß, wenn von einer Messungenauigkeit von nicht ganz 1 % abgesehen wird, bis zu etwa x — 0,2 mm Übereinstimmung der experi- mentell und theoretisch bestimmten e'-Werte vorliegt. Für größere cc-Werte liefert die Theorie etwas zu große Werte. Hieraus wird man schließen, daß die Exzentrizität zu einer geringen Verringerung des Lochfehlers führt. Wir wollen nunmehr den berechneten Fehler (4b) mit dem bei einer konzentri- schen Anordnung vorliegenden vergleichen. Die Radien der konzentrischen Leiter seien mit r* bzw. ra und die Abstände der Probe von diesen mit Xi bzw. xa bezeichnet. Für den Fehler der konzentrischen Leitung folgt nach einer entsprechend der be- reits durchgeführten Rechnung verlaufenden Überlegung x (mm) e (Exp.) e (Theorie) 0 2,74 2,74 0 05 2,68 2,66 0,1 2,58 2,58 0,15 2,56 2,53 0,2 2,45 2,47 0,3 2,34 2,39 0,4 . 2,25 2,31 0,5 2,17 2,26 l In 5=5 + ln +1„ 5±5 = 1 In 5 S U Xi Ta Xa U fi' Ti nn VW rp a a i > a 1 a a in ln ln /‘+3. = i+(e-i)-!j 5±5 6 ln - lnT— n n ln(l + —)—ln(l——) 5+5 il=(£ rA (40) £ -,Ta ■■ Ta ln — ln — Ti Tx Der Vergleich der Beziehungen (4b) und (4c) zeigt, daß bei einwandfreiem Sitz der Probe im Außenleiter der konzentrischen Leitung (xa = 0) die beiden Leitungsarten denselben Fehler bedingen, wenn bei gleich dickem Luftpolster ln ra/rf—r ln a/r gilt. Da die Funktion r ln a/r nicht stark r-abhängig ist, ist der D-fiT-Fehler bei den in Betracht kommenden Werten nicht sehr von den geometrischen Abmessun- gen abhängig. So kommt es, daß bei unserer Doppeldrahtleitung trotz 57 ihrer dünnen Leiter der Fehler nicht mehr als etwa doppelt so groß ist wie bei einer konzentrischen Leitung mit einem Verhältnis ra/n von ungefähr drei. Aus der Gleichung (4b) folgt, daß bei großen DA-Werten die Proben einwandfrei auf den Leitern sitzen müssen, wenn Fehlbestimmungen vermieden werden sollen. Ein genügend einwandfreier Sitz ist nun vor allem bei Wiederholungsmessungen nicht immer gewährleistet. Es sei daher auf die Möglichkeit aufmerksam gemacht, den diskutierten Fehler durch gespreizte Endstücke der Leiter zu verkleinern. In- folge der Spreizung liegen die Leiterteile federnd an den Rändern der Probenlöcher an. Der Kontakt ist also gewährleistet. Dafür entsteht ein anderer Fehler, auf den kurz eingegangen werden soll. Beschränken wir uns auf den Fall dünner Proben, die nichtleitend sind, so gilt bekanntlich1 ZL(oC = tg 2tt - > wenn mit der Wellen widerstand der Meßleitung bezeichnet wird und l die La- genänderung des Kurzschlusses gegenüber dem Pall ohne Probe ist. Weiterhin folgt e d aus der Beziehung C = ■■■, — und der Gleichung für den Wellenwiderstand 4 ln /r+x der Leiter am Ende der Leitung Za = 120 ln a/r+x die Formel 30 e d Fassen wir die Beziehungen für Zl und Za zusammen, so folgt 30 d Za . 0 l £= y- * tg 2 71 — • (O Zjl A Die DK ist hiernach proportional dem Verhältnis Za/Zjr. Wird die Spreizung der Abschlußleiterteile nicht berücksichtigt, so begeht man daher einen Fehler um diesen Faktor. Wir wollen diesen Faktor durch die Leiterdimensionen ausdrücken. Da die falsche DK e' durch 30 djco tg 2n Iß gegeben ist, folgt , ln — -— h,?_lh!l±f ln fl +?) e Z/a r -\-x _ r r _ V rj e' ZL . , a . a , a ln - ln - ln - Der Relativfehler, den man begeht, wenn die Wellenwiderstandsänderung nicht berücksichtigt wird, hat somit den Wert = d r_. (4d) e' . a , a ln - ln - r r Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Gleichung (4b), so folgt: Der Betrag des ,,Spreizfehlers“ ist um den Faktor e— 1 kleiner als der „Lochfehler“ und hat ent- gegengesetztes Vorzeichen. Die Spreizungen der Endleiter empfehlen sich daher unbedingt. Bei unserer Leiteranordnung speziell folgt (x in mm!) A e _ x x 7 = ln 15 = 2/7 1 Siehe z. B. bei P. Drude, Wiedemanns Annalen 61, [1897]. 58 Der Fehler ist hiernach kleiner als 10 %, wenn x < 0,27 mm gilt bzw. der Loch- durchmesser auf wenigstens 1/2 mm genau hergestellt ist. Bei den vorstehenden Erörterungen wurde speziell der Fehler, der bei der DK- Bestimmung entstehen kann, berechnet. Dabei wurde keine ohmsche Leitfähigkeit der Probe angenommen und diese dünn vorausgesetzt. Durch analoge Überlegungen gelangt man zu gleichen Ergebnissen bezüglich des Fehlers, der bei der Leitfähig- keitsbestimmung stark leitender dünner Proben begangen wird. Ist die Probe nicht mehr so dünn, daß der Eingangsleitwert der Probe proportional zur DK bzw. ohm- schen Leitfähigkeit angesetzt werden darf oder wird diese Proportionalität durch einen komplexen Charakter des betrachteten Eingangsleitwertes gestört, so lassen sich nicht mehr so einfache Ergebnisse gewinnen. Indessen können die abgeleiteten Gesetzmäßigkeiten in den meisten vorliegenden Fällen wenigstens zur Abschätzung der zu erwartenden Fehlergrößenordnung herangezogen werden. Eine weitere Frage ist die nach dem Einfluß des Probendurchmessers auf die Meßresultate. Streng genommen greift das elektrische Feld unendlich weit in den die Doppelleitung umgebenden Raum. Da alle numerischen Auswerteverfahren vor- aussetzen, daß die am Leitungsende angebrachte Probe das gesamte Feld zwischen den Leitern längs des von der Probe bedeckten Leitungsstückes enthält, müßten die Proben möglichst groß dimensioniert werden. Indessen läßt der geringe Abstand der beiden dünnen Leiter vermuten, daß man hier nicht zu hohe Anforderungen an die Probengröße stellen muß. Wir haben auch diese Frage experi- mentell untersucht. Es wurde die scheinbare DK von kreisför- migen Igelitscheiben verschiedenen Durchmessers bei einer Wel- lenlänge von 1,5 m bestimmt. Das Ergebnis ist in der nebenstehen- den Tabelle niedergelegt. Man sieht, daß die scheinbare DK mit wachsendem Probendurchmesser sich asymptotisch einem Grenz- wert, der wirklichen DK, nähert. Dieser Grenzwert wird von 5 cm großen Proben bereits um weniger als 1 °/p genau angenähert. Wir haben daher bei unseren Messungen alle zu untersuchenden Materialien mit einem Durchmesser von 6 bis 8 cm angefertigt und dies als genügend erachtet. Bezüglich der Probenanbringung ist also festzustellen; 1. Der durch nicht exakte mechanische Anpassung der Proben bedingte Fehler kann beträchtlich sein. Er ist proportional e — 1 und daher vor allem bei Sub- stanzen großer DK groß. 2. Ein Vergleich der durch experimentelle Nachprüfung gut betätigten Formel für den durch zu große Probenlöcher bedingten DA-Fehler mit der entsprechenden Beziehung für eine konzentrische Leitung mit relativ dickem Innenleiter zeigt, daß die Verdickung der Leiter den Fehler nicht erheblich vermindert. 3. Spreizt man die Leitungsenden so lange, bis die Probe fest auf der Leitung sitzt, so ist der durch die Änderung von Z bedingte Fehler um den Faktor e — 1 kleiner als bei nicht erfolgter Spreizung. 4. Es genügt, den Proben einen äußeren Durchmesser von 6 bis 8 cm zu geben. Durch- messer DK 2 cm 2,37 3 2,66 4 2,72 5 2,78 6 2,79 8 2,80 5. Der Einfluß der Halterung auf die Meßergebnisse. Die in Abschnitt 2 dieses Kapitels beschriebene Trolitulhalterung der Leitung kann in ihrem Verhalten auf die Wellenverteilung durch eine Kapazität ersetzt werden, die dem am Ende der Leitung angeschlossenen komplexen Widerstand parallel ge- schaltet ist, wenn der Wellenwiderstand der Halterung kleiner als der der Leitung ist. Denn es läßt sich dann wegen der vernachlässigbaren Veiluste in der Trolitul- scheibe immer eine verlustlose Kapazität angeben, die die Wellen Verteilung in gleicher Weise verschiebt, wie es die Halterung mit ihrer zweifachen Reflexion am 59 Anfang und am Ende bewirkt. Über die Abhängigkeit dieser Kapazität vom Ab- schlußwiderstand wird an anderer Stelle1 berichtet. Wie dort angegeben, kann der Wellen widerstand der Halterung aus der Verschiebung errechnet werden, die die Spannungsverteilung erfährt, wenn das zunächst unbelastete Leitungsende kurzge- schlossen wird. Wie durch mehrfache Versuche festgestellt wurde, ist diese Ver- schiebungsgröße bei der oben beschriebenen Anordnung um etwa 3 mm kleiner als A/4. Aus den am Schlüsse des Abschnittes 2 gebrachten Erörterungen war aber gefolgt, daß allein das am Ende der Leitung befindliche Streufeld eine Verschiebung von 3 mm im Leerlauf bedingt. Da dieses Streufeld bei Kurzschluß der Leitung nicht wirksam ist, erklärt es allein die experimentell bestimmte 3 mm-Verschiebungs- größe. Hieraus folgt, daß die Halterung selbst einwandfrei abgeglichen ist, d. h. daß ihr Wellenwiderstand gleich dem der Leitung ist und somit die Halterung keine Störung der Wellenverteilung längs der Leitung hervorruft. Eine solche wird lediglich durch das am Ende der Leitung befindliche Streufeld verursacht. Das Streufeld wird hervorgerufen durch eine von dem die Leitung abschließenden Widerstand unabhängige Kapazität. Ihre Wirkung ist daher identisch mit der einer ,,ideal kapazitiven“ Halterung und wurde in der vorerwähnten Arbeit über den Einfluß von Halterungen diskutiert. Wir übernehmen aus dieser Arbeit die folgen- den Ergebnisse: 1, Der Fehler, der bei der Bestimmung der Wirkkomponente des komplexen Ab- schlußleitwertes ohne Berücksichtigung der Streukapazität begangen wird, ist in relativem Maße gleich AG T0 (W2 + Ti2) — 2 Ti (1 — W2) G = To 1+W2 Ti2 wobei T0 = tg 2 7r l0ß, Ti — tg 2n Iß und W = i (min) / i (max) gilt, Voraus- setzung für die Gültigkeit dieser Beziehung ist, daß die Größe l0, die die Kurzschluß- Leerlaufverschiebung zu A/4 ergänzt, kleiner als 1,6 A/100 ist. Da sie in unserem Falle 3 mm groß ist und X 40 cm gilt, ist diese Forderung im vorliegenden Fall erfüllt. Der maximal mögliche Relativfehler ist gleich 2 Ti T0. Für die Wellenlänge 40 cm bedingt dies den Wert 0,1 Ti. Solange l < A/8 erfüllt ist, kann der Fehler also nicht größer als 10 % sein. 2. Der Relativfehler der Blindkomponente ist für kleines W, d. h. für geringe Wirk- leitfähigkeit praktisch gleich Ti T* d. h. kleiner als 5 %, solange Z < A/8 gilt. Für größere IF-Werte sinkt er zunächst ab und steigt dann schnell wieder an. 3. Will man die Komponenten eines beliebig komplexen Abschlußwiderstandes auf Jeden Fall richtig bestimmen, so hat man die Verschiebung l, die die Spannungs- verteilung längs der Leitung erfährt, wenn die zuvor freie Leitung mit dem zu be- stimmenden Abschluß belastet wird, um l0 — 3 mm zu vergrößern und von dem sich dann ergebenden Z-fachen Wert der Blindkomponente den kleinen Wert tg2jt l0ß = 1,9/A abzuziehen. Aus den vorstehenden Erörterungen folgt, daß der Einfluß des Streufeldes am Ende der Leitung in den meisten Fällen vernachlässigbar gering ist. 6. Abhängigkeit der meßbaren Größen vom Abschlußwiderstand. Wir haben bereits im vorangegangenen Abschnitt erkannt, daß im Interesse eines geringen Einflusses der Halterung eine geringe Verschiebung der Spannungsver- teilung l durch Anlegen der Probe wünschenswert ist. Da sich in vielen Fällen die Größe des die Leitung abschließenden komplexen Widerstandes verändern läßt (dies ist z. B. bei Proben, deren Materialkonstanten bestimmt werden sollen, der Fall), 1 Siehe Kapitel IV dieser Arbeit. 60 erhebt sich ganz allgemein die Frage nach der zweckmäßigsten Dimensionierung des Abschlußwiderstandes. Die Beantwortung dieser Frage wurde für reine Blind- widerstände bereits durch Drude1 gegeben. Und zwar ergibt sich, daß die Bestim- mung des Blindwiderstandes am genauesten erfolgt, wenn dieser eine Verschiebung von A/8 hervorruft. Ist der Abschlußwiderstand nicht rein imaginär, so liegen kom- pliziertere Verhältnisse vor. Im folgenden soll die Abhängigkeit der meßtechnisch wahrnehmbaren Größen von den Komponenten des Abschlusses diskutiert werden, um einen qualitativen Überblick über die zu erwartenden Wirkungen zwecks Ver- meidung meßtechnisch ungeeigneter Dimensionen zu vermitteln. Ist 0) der im allgemeinsten Fall beliebig komplexe Leitwert am Ende der Leitung und sind a und 6 die Komponenten seines Z-fachen Wertes gemäß Z @ = a + jb (6a) (Z Wellen widerstand der Meßleitung), so besteht mit der durch % bedingten Ver- schiebung der Spannungsverteilung l und dem Betrag des Reflexionskoeffizienten nach Drude der folgende Zusammenhang; A l_ 2 b g 71X 1 —a2—62 (6b) 2 a2 -\-b2 + ! — 2 a 9 a2 + b2 + 1 + 2 a ( Die Abhängigkeit der Größen Iß und p2 von a ist in den beiden folgenden Abbil- dungen 10 und 11 dargestellt, wobei b als Parameter der Kurvenscharen gewählt ist. Betrachten wir zunächst die Abhängigkeit der Größe Iß von a. Aus der Abb. 10 erkennt man, daß Iß mit a monoton ansteigt, d. h. je größer die Wirkkomponente G der Leitfähigkeit © ist, umso größer ist auch l. Der Wert A/4 kann nie überschritten werden. Er liegt bei Kurzschluß {a = oo!) vor. Vor allem in der Nähe des Wertes a — 1 {Z — Gl) ist der Anstieg von l mit a beträchtlich und dies wiederum umso mehr, je kleiner b = ZGist,d.h. je reiner der Abschlußleit wert ein rein ohmscher ist. Andererseits zeigt Abb. 11, daß gerade für kleine b die Größe p2 in Abhängigkeit von a ein Minimum erreicht, das nur wenig von 0 abweicht. Dies bedeutet, daß das Wellenverhältnis W = 1 — p/1 -j- p nahe bei 1 liegt und infolgedessen die Lage der Spannungsverteilung nicht sehr genau feststellbar ist. Für a < 1 ist l, wie man ebenfalls Abb. 10 entnimmt, auch monoton von b abhängig. Ist dagegen a > 1, so gilt dies nicht mehr unbedingt; Hier kann l mit a sowohl zu- als auch abnehmen. Offenbar erreicht l als Funktion von b ein Minimum, das größer als A/8 sein muß. Wie man durch Differentiation von (6b) nach b erkennt, liegt das Minimum vor, wenn a2 — 62 = 1, (6d) und hat den Wert tg4l,l=~r (6e) Ist b kleiner als Gleichung (6d) entspricht, so nimmt l mit 6 zu, im Gegenfalle sinkt l bei b-Anwachs, wie man ebenfalls aus Abb. 10 ersieht. Infolge der erörterten Ge- gebenheiten ist für a > 1 eine eindeutige Zuordnung von b und l nicht mehr gegeben. Es lassen sich hier zu gegebenem a stets zwei &-Werte finden, die die gleiche Ver- schiebung 1 bedingen. Die Abhängigkeit der Größe p2 von a und b ist dagegen, wie man aus Abb. 11 erkennt, immer eindeutig. In Abhängigkeit von a beginnt p2 vom Wert 1 abzusinken, um ein Minimum zu erreichen und dann wieder den Wert 1 bei a = oozu erreichen. 1 Siehe die Arbeit über Drudes 2. Methode in Wiedemanns Annalen 61, S. 466, [1897]. 61 Abb. 10 62 Abb. II 63 Die Minimumbedingung ergibt sich durch Differentiation des Ausdruckes (6 c) zu a2 = b2 + 1j was mit Gleichung (6d) übereinstimmt. Dies bedeutet, daß die weiter oben qualitativ ausgedrückte Behauptung exakt gilt: l und p2 erreichen in Ab- hängigkeit von a gleichzeitig ihr Minimum. Diese Minima können nur für a > 1 vorliegen, da die Gleichung (6d) a-Werte kleiner als 1 nicht zuläßt. Der Minimalwert bei Gültigkeit von (6d) folgt aus Gleichung (6c) mit p2 = a — 1 ja 4- 1. In Ab- hängigkeit von h nimmt p2 monoton zu bis zum Grenzwert p2 = I, der für b = oo erreicht wird. Für b gleich Null hat p den Minimalwert a— 1 ja -f-1, also den gleichen Wert wie p2 bei Erreichen seines Minimums in Abhängigkeit von a. 7. Messungen nach der Substitutionsmethode. Bei der Bestimmung von Stoffkonstanten führen Substitutionsmethoden, bei denen die zu untersuchende Substanz mit Normalen bekannter Daten verglichen wird, oft leichter zum Ziel als Absolutmethoden. Dies gilt vor allem bei der Bestim- mung der Dielektrizitätskonstante gering leitfähiger Proben. Will man dagegen beliebig leitfähige Dielektrika untersuchen, so sind Vergleichsverfahren ungeeignet, da bei diesen zwei Konstanten einzuregulieren sind, was bei deren oft gegebener gegenseitiger Abhängigkeit Schwierigkeiten bereitet. Der Vorteil der Substitutions- verfahren besteht vor allem darin, daß alle Rechnungen fortfallen und daß alle Fehlerquellen der Anordnung eliminiert werden. Sie sind daher bei wenig leitfähigen Dielektrika von so großem Wert, daß ihre Anwendung unbedingt geraten erscheint. Aus diesem Grunde sollen im folgenden die von uns in dieser Richtung durchge- führten Versuche und die Gesichtspunkte, die hierbei als wesentlich erkannt wurden, ausgeführt werden. Es handelt sich dabei um die Bestimmung der DK gering lei- tender Flüssigkeiten und Festkörper. Die Proben werden in den in Abb. 12 skizzierten Kondensator eingebracht. Der- selbe besteht aus einem von oben zugäng- lichen Hartgummigefäß, in das ein freier Raum von 3 X 20 X 20 mm zwecks Proben- aufnahme eingelassen ist. Die Elektroden bestehen aus zwei Messingscheibchen von 5 mm Radius, die plan mit den Seitenwän- den des Gefäßes abschließen und deren eine etwas in Richtung auf die andere verstell- bar ist, um so auf jeden Fall ein einwand- freies Anliegen der Elektroden an die zu untersuchende Probe ermöglichen zu kön- nen. Die Größe der Elektroden wurde so gewählt, daß die Füllung mit einem Ma- terial der DK 5 bei X = 1 m etwa eine Verschiebung von //8 bedingt. Die Elektroden enden in zwei 1 mm starken Messingzäpfchen, die es gestatten, das ganze Gefäß am Ende der Leitung zwischen zwei dort befindliche Vertiefungen in den Leitern einzuklemmen. Die Eichung des Kondensators wurde von uns in der Weise vor- genommen, daß derselbe mit einer Reihe von Flüssigkeiten bekannter DK gefüllt und die dann bei seiner Anbringung verursachten Verschiebungen der Spannungs- verteilung ermittelt wurden. Auf diese Weise ergab sich ein Zusammenhang zwi- schen Verschiebungsgröße und DK, der graphisch dargestellt in einfachster Weise DK-Bestimmungen anderer Substanzen erlaubt. Als Eichflüssigkeiten haben wir nichtleitende Substanzen gewählt, die in dem interessierenden Wellenlängengebiet noch keine Dispersion auf weisen und deren DK bei Niederfrequenz mit Hilfe eines Kapazitätsmeßgerätes und eines zu diesem Zweck hergestellten Spezialkondensators gemessen wurde. Der Spezialkondensator war so konstruiert, daß sein Streufeld gering Abb. 12 64 war und er von der Eichflüssigkeit ganz umspült wird. Dies ist erforderlich, da ein nicht ganz in der Eiehflüssigkeit verlaufendes Streufeld den Zusammenhang von Flüssigkeits-Düi und Kondensatorkapazität unübersichtlich gestaltet. Wie groß ist nun der Fehler der DK einer schwach leitenden Substanz, wenn die oben geschilderte Methode zur DK-Bestimmung verwandt wird? Der mit der zu untersuchenden leitenden Substanz gefüllte Kondensator verursacht eine Ver- schiebung, für die Gleichung (6b) gilt: T = tg4»i=1_“_t,. (7a) worin b = Z co C und a — ZG ist. Die Auflösung dieser Gleichung nach b ergibt ’ 6 = -l±lVl + P(l-«>). (7b) Da b eine positive Größe ist und für a < 1 der Wurzelradikant größer als 1 ist, kommt für den hier interessierenden Fall geringer Leitfähigkeit {1/G >• ZI) nur das positive Vorzeichen der Wurzel in Betracht: (7c) Der gleichen Verschiebung l entspricht ein anderer 6-Wert b0 = ZcoC0, wenn die Eichflüssigkeit mit a = 0 als Ursache der Verschiebung gedacht wird. b0 erhält man, indem man a = 0 in Gleichung (7 c) einführt: K — —y [i — Vi + r>]. (7d) Nach dem oben geschilderten Substitutionsverfahren gewinnen wir an Stelle der uns interessierenden Größe b die Größe b0 bzw. den dazu proportionalen G-Wert. Den Relativfehler, den wir so begehen, werden wir daher zweckmäßig auf b0 be- ziehen und erhalten so b0 — b _ C0 — C _ 1 —V1 + T2 — [l — Vl + (1 — a*)] b0 ~ ' C'0 ~ ~ 1= Vl + T2 C'0-C'_ Vr+T“2-Vl +T2{\-a2) v, " ’ Wird vorausgesetzt, daß T kleiner als 1 ist, d. h. daß l < A/8 gilt, so ist es auch T2 (1 — a2) füra r j «a* . (7f) üo j t ™ L * J 4 65 Ist T wesentlich kleiner als 1, so wird %— = (7g) Für T — 0,5 ist der Fehler der Gleichung (7g) z. B. kleiner als 6 %. Auf jeden Fall liefert Gleichung (7 g) einen zu großen Wert für a < 1. Da a = Z • G = Z/R ist, folgt: Der bei Anwendung der beschriebenen Substitutionsmethode begangene Kapazitätsfehler ist kleiner als 11 °/0, wenn der ohmsche Teil des Abschlußwiderstandes mindestens gleich dem dreifachen Wellenwiderstand und kleiner als 4 %, wenn er größer als der fünf- fache Wellenwiderstand ist. Für unsere Leitung mit einem Z — 330Ü be- deutet dies, daß Kapazitäten, deren Widerstand 1000 ü übersteigt, nach dem Sub- stitutionsverfahren meßbar sind. Die Abschätzung des Fehlers nach den gebrachten Beziehungen setzt die Kennt- nis von G voraus. Meist ist diese ebensowenig wie die von C gegeben. Es soll daher nunmehr eine Beziehung abgeleitet werden, die den Fehler als Funktion der meß- baren Größen liefert. Gemessen werden die Resonanzbreite und damit das Wellen- verhältnis Tf1 und die Verschiebungsgröße l. Zwischen W und dem Betrag des Re- flexionskoeffizienten vom Abschlußwiderstand p besteht bekanntlich der einfache Zusammenhang w = . (7h) 1 + P so daß wir uns die Aufgabe stellen, (C0 — C) / CQ als Funktion von p und l auszu- drücken. Bekanntlich gilt ferner2 @z=o 1 +y wobei p = pe~i*nllx der komplexe Reflexionskoeffizient des Leitungsabschlusses ist. Trennt man diese Beziehung in ihre Komponenten, so folgt nach kurzer Rechnung 1 — p2 /t?n ü ~ 1 + p2 + 2 P cos 4ji Iß (7l) = 2 p sin in l/X 1 + P2 + 2 p cos 4 Ti 2/A Bei vernachlässigbarer Leitfähigkeit des Abschlusses ist die Reflexion vollständig d. h. es gilt p = 1 und somit sin4jrZ/A , _ l bo=T~i j— = tg2n-- 71 1 + COS 4?I IjA / Bildet man nunmehr wieder den Quotienten (b0—b) / b0 mit Hilfe der Gleichungen (7 k) und (71), so folgt i.-i , 2p(i + cos44) r r 0 1 -f- p2 -j- 2 p cos 4 n - A 1 Siehe hierzu die Ausführungen in Kapitel II. 2 Sie z. B. bei F. Vilbig, Lehrbuch der Hochfrequenz-Technik, Leipzig [1939]. 66 Co — C (1 — p)2 -V—= — r (7m) 0 1 +p2 +2 Pcos47r1 A Wird hierin W mit Hilfe von Gleichung (7 h) eingeführt, so erhält man C0-C_ 2 W2 .7n. /"( 7 (^n) 0 1 + Jf2 + (1 —Tf2) cos 4tt- A und damit die gesuchte Möglichkeit, {C0 — C)/C0 aus l und W zu bestimmen. Da cos 4nl/X kleiner als 1 ist, muß der Nenner von Gleichung (7n) kleiner als 2 und {C0—C) IC0 somit größer als W2 sein. Da (C0—C) / C0 andererseits kleiner als a2 ist, liegt sein wahrer Wert zwischen W2 und a2. Einen besonders einfachen Ausdruck, der dies gut erkennen läßt, erhält man, wenn in Gleichung (7 m) der Ausdruck (7 i) eingeführt wird. So folgt C0 — C 1 — p2 1 —p TJ7 -5- =- 'ra=ri—a= W - a. (7o) C0 1 — P2 1 + p Da Gleichung (7i) sich in die Form fl_l —P 1 1+P-, 2p / . Z\ '-(T + rtd1-0084”!) bringen läßt, ist (7 o) identisch mit 4-5)]- (7p) Wegen |cos 4tt ?/A| < 1 und p < 1 bezw. 2 p/(l + p)2 < 0,5 folgt aus Gleichung (7 p) somit die wichtige Abschätzung a2 C0—Ö 9 . <7(1> Da weiterhin den Gleichungen (7i) und (7 k) zu entnehmen ist, daß i i 1 - 0084”! i+p a a . . Z 1 — p sin 4 - X 1 — p a 1 + P , T , £) l 1 +6 tg2jt- gilt, ist die Gleichung (7o) identisch mit C„ — 0 , 1 1 “l+btgS** a'+b'b* <7r> A Der Relativfehler von Gleichung (7g) ist hiernach gleich dem Pro dukt b • b0. 67 Abb. 15 Abb. U 68 Wir haben uns nun noch mit der Frage zu beschäftigen, wie sich der durch die Wirkkomponente des Abschlusses bedingte (7-Fehler auf die DA auswirkt. Wäre e proportional zu C, so wäre der DA-Fehler mit dem (7-Fehler identisch. Da aber ein nicht vernachlässigbarer Teil der elektrischen Kraftlinien bei dem in Abb. 12 dar- gestellten Kondensator das zu untersuchende Dielektrikum nicht durchsetzt, ist dies nicht der Fall. Es ist noch nicht einmal von Nutzen, C in einen e proportionalen Teil und einen davon unabhängigen Teil gemäß dem Ansatz C = £ + C2 auf- zuteilen, da der Anteil des im Dielektrikum verlaufenden Feldes von der DK ab- hängt und somit (7X und C2 selbst Funktionen von e sind. Man wird sich hier zweck- mäßig so helfen, daß man durch Füllen des Kondensators mit verschiedenen nicht- leitenden Flüssigkeiten bekannter DK verschiedene Kapazitäten herstellt, diese nach der Formel ZcoC — tg 2 jiI/A. experimentell bestimmt und in Abhängigkeit von e darstellt. Für den in Abb. 12 dargestellten Kondensator ergibt sich so die in Abb. 13 gebrachte Kurve. Wir wollen nun wissen, um welchen Faktor der e-Fehler größer als der (7-Fehler ist, d. h. wir interessieren uns für den Quotienten de dC de e T :~C~==dG:~C’ wobei de die infinitesimale e-Ändemng ist, die einer kleinen C-Änderung d C zu- geordnet ist. Die durch graphisches Differenzieren aus Abb. 13 gewonnene Abhän- d s s gigkeit von ist in Abb. 14 dargestellt. Man erkennt, daß der Faktor, um den der DK-Fehler größer als der (7-Fehler ist, nicht konstant ist. Sein Wert schwankt zwischen 1,6 und 2,1 wenn e maximal gleich 21 ist. Er erreicht das Mi- nimum 1,1 bei e — 5. Dies bedeutet, daß DÜT-Werte in der Nähe von 5 besonders unabhängig vom Leitfähigkeitseinfluß sind. Zum Abschluß unserer Betrachtungen zur Sub- stitutionsmethode wollen wir die Frage erörtern, welche Fehler durch unvollkommenen Kontakt zwi- schen Elektrode und Probe entstehen können. Diese Fehler kommen in Betracht bei festen Proben, die um das Stück A d dünner als d sind. Unter Außer- achtlassung des Streufeldes erhält man wie folgt einen Überblick über den zu erwartenden Effekt: Ist F die Fläche der Elektroden, so beträgt die Probenkapazität unter Vernachlässigung des Streu- feldes F v 4 7i {d — Ad) Mit dieser in Reihe liegt die Luftkapazität °L 4 Ti Ad' Abb. 15 Infolge der Eichung messen wir die auf den Abstand d bezogene scheinbare DK e', für welche e' F 4 n d gilt. Dabei ist 1/(7' = 1/(7/, + 1/(7P. Hieraus folgt nach kurzer Rechnung 69 Der auf den ermittelten Wert e' bezogene Relativfehler hat somit den Wert Ae Ad, <7*) Da bei dem von uns verwandten Kondensator d = 3 mm ist, ergibt sich für ein d — 0,1 mm die nebenstehende Tabelle. Sie zeigt, daß vor allem bei Proben mit großer DK die Probendicke außerordent- lich genau mit dem Elektrodenabstand übereinstimmen muß, wenn Fehlbestimmungen vermieden werden sollen. Zwecks Vermeidung dieser Fehlerquelle haben wir, wie schon oben erwähnt, die eine Elektrode mit einem Gewinde versehen. Hierdurch ist die Möglichkeit gegeben, bei zu dünner Probe durch Nachstellen der Elektrode den Luftzwischenraum zu beseitigen. Der bei diesem Verfahren entstehende Fehler ergibt sich wie folgt: Die Verringerung des Elektrodenabstandes um A d bedingt e Ae Vin % 1 0 2 3,3 3 6,6 5 13,2 10 30 20 60 eF Qf _ . 4 7i {d — A d) Dem entspricht ein e'-Wert für den Eichabstand d gemäß , F _ F 4 Tr d S 4 n {d — Ad) woraus Ae Ad ~e<7U) folgt. Der bei unserer Methode begangene Fehler ist also um den Faktor e — 1 kleiner als im oben behandelten Fall. Er beträgt für d = 3 mm und A d — 0,1 mm nur 3,3 %. Bei der Ableitung der Formel (7u) haben wir ebenso wie bei der von (7 t) vom Streufeld abgesehen. Bei unserem Kondensator verringert sich die Zusatzstreuka- pazität infolge des Auftretens von Luftvolumina im Probenraum bei zu dünner Probe. Dadurch wird die durch das Verringern von d bedingte Erhöhung von C zum Teil kompensiert. Die in der folgenden Tabelle niedergelegten Zahlen bestätigen dies. A d (mm) e' Ae 77 in"/. A d 100 X Ad Ae d * e' 0 3,73 0 0 0,1 3,84 2,9 3,3 1,1 0,2 3,92 5,1 6,7 1,3 0,25 3,95 5,9 8,3 1,4 0,45 4,1 9,9 15 1,5 Sie wurden gewonnen, indem die Dicke einer zunächst gut passenden Probe fort- laufend verdünnt und e' gemessen wurde. Der Quotient aus theoretischem und ex- perimentell gewonnenem Fehler A d/d-.A e/e' wächst infolge des wuchsenden Ein- flusses der Lufträume bei zunehmendem e an. Dies bedeutet, daß vor allem bei größeren A d-Werten der Fehler beträchtlich kleiner wird als ihn die Gleichung (7u) angibt. Zusammenfassend läßt sich sagen: Der Fehler, der durch schlechte Probenherstellung bedingt wird, ist kleiner als 3%, wenn A d kleiner als 0,1 mm ist und kleiner als 6%, wenn Ad unter £ mm beträgt. 70 8. Zusammenfassung. In der vorliegenden Arbeit wird eine Lecherleitung in offener Ausführungsform beschrieben, mit der in einfacher Weise die Bestimmung komplexer Widerstände möglich ist. Die Anordnung arbeitet nach einem Resonanz verfahren im Wellen- längenbereich von 40 bis 300 cm und hat den Vorteil großer Einfachheit. Die Ver- luste durch Abstrahlung und die ohmschen Leitungsverluste sind von gleicher Größenordnung wie die in der Halterung der Leiter, also gering. Der Leiterabstand ist mit 15 mm so klein, daß bei der verwandten Methodik keine störende Beein- flussung von außen vorliegt und die Erregung von Gleichtakt wellen unmöglich ist. Ein ausführlicher Vergleich mit den im gleichen Wellenlängengebiet arbeitenden Leitungen, die geschlossen sind und keine Resonanzabstimmung verwenden, be- weist die Überlegenheit des beschriebenen Verfahrens. Im weiteren Verlauf der Arbeit werden neben Fragen der Leiterhalterung und Fragen der Abhängigkeit der meßbaren Größen vom Abschlußwiderstand die folgenden Punkte erörtert; 1. Wie genau sind bei Materialkonstantenbestimmungen die Proben bezüglich ihres Sitzes auf den Leitern anzufertigen ? Die Behandlung dieser Frage zeigt, daß ein Luftpolster zwischen Leiter und Probe etwa doppelt so stark stört, wie bei kon- zentrischen Anordnungen mit dem üblichen Durchmesserverhältnis von etwa 3. Diese Störung läßt sich um den Faktor e — 1 verringern, wenn die Leiterenden gespreizt sind und federnd an die Probe anliegen. Der Außendurchmesser der Pro- ben braucht 6 cm nicht zu übersteigen. 2. Eingehende Ausführungen über das Substitutions verfahren zur Ermittlung der DK schlecht leitender Proben mit Hilfe nichtleitender Substitutionssubstanzen zeigen, daß dies Verfahren einen Relativfehler von (a — Z/R\) A C 2 W2 TJ/ 2 1 ~~ft = T = Wa =a TÄThT . 1 +W2+{l—W2) COSlrr- + 0 A a2 (1 —a2) tg2 in - j bedingt. Dieser Fehler liegt zwischen den Schranken a2/2 und a2 und ist bei der be- schriebenen Anordnung kleiner als 4%, wenn der ohmsche Teil R des Abschluß- widerstandes größer als 1,6 JcCl ist. In weiteren Untersuchungen wird bestimmt, um welchen Faktor der DK-Fehler größer als der Kapazitätsfehler ist und dieser in Abhängigkeit von e dargestellt. Dieser Faktor schwankt bei dem von uns ver- wandten Kondensator zwischen 1,1 und 2. In die Arbeit abschließenden Betrach- tungen wird gezeigt, daß der durch zu dünne Proben bedingte Fehler um mehr als das (e — l)-fache verringert werden kann, wTenn die Elektroden bis zur Probenbe- rührung nachgestellt werden. Er ist dann kleiner als 100 A d/d%, wenn d der nor- male Elektrodenabstand und A d der Mangel der Probendicke an d ist. 71 KAPITEL IV. DER EINFLUSS VON HALTERUNGEN AM ENDE VON LECHERLEITUNGEN. 1. Einleitung Meßleitungen, mit deren Hilfe komplexe Widerstände bei Dezimeterwellen be- stimmt werden können, werden meist konzentrisch ausgeführt und arbeiten nach dem Abtastverfahren. Bei diesem wird mit einer längs der Leitung gleitenden Sonde die Spannungsverteilung aufgenommen1. Es ist hierbei besonders wichtig, daß der Abstand der auf dem Außenleiter beweglichen Sonde vom Innenleiter bei der Füh- rung der Sonde exakt eingehalten wird, d.h. daß die Lage des Innenleiters an keiner Stelle auch nur geringfügig exzentrisch ist. Bei Leitungen mit einer Gesamtlänge von mehr als 1 m, wie sie für Messungen mit Wellenlängen über 50 cm erforderlich sind, kann dies nur mit Hilfe mehrerer Stützen erreicht werden. Die Bedeutung einer solchen Halterung für die Spannungsverteilung längs einer Leitung hängt nicht nur von ihren Dimensionen, sondern auch von ihrer Lage bezüglich der Span- nungsverteilung ab. So gibt es „kapazitive“ Halterungen, die vor allem in einem Spannungsbauch, und „induktive“ Halterungen, die in einem Strombauch die Ver- teilung beeinflussen2. Da nun die Lage der Spannungs- und Stromverteilung eine Funktion des Abschlußwiderstandes ist, folgt eine Abhängigkeit der störenden Wirkung einer an beliebiger Stelle der Leitung angebrachten Halterung vom Ab- schlußwiderstand. Die Herleitung handlicher Formeln, die die Störung charakteri- sieren, ist nicht einfach. Bedarf die Leiteranordnung gar mehrererLeiterhalterungen, und dies ist wie gesagt bei den Leitungen für den angegebenen Wellenbereich der Fall, so wird die mathematische Berechnung des Einflusses aller dieser an den ver- schiedensten Stellen der Spannungsverteilung befindlichen Halterungen praktisch unmöglich. Die Überwindung dieser Schwierigkeiten kann grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen erreicht werden. Die erste besteht darin, die Störung der einzelnen Hal- terungen zu beseitigen. Dies erfordert eine Angleichung des Wellenwiderstandes in der Halterung an den Wellenwiderstand der Leitung, da dann bekanntlich3 keine Reflexion der auf die Halterung auftreffenden Wellen an dieser erfolgen kann und allein solche Reflexionen für die unerwünschten Störungen verantwortlich sind. Über die verschiedenen Möglichkeiten, den Wellen widerstand der Halterung zu prüfen und über die Konstruktionen, die einen möglichst einwandfreien Wellen- widerstandsausgleich gewährleisten, liegen mehrere Arbeiten vor4. Die durch eine Halterung bedingte kapazitive Belastung der Leitung kann durch entsprechende Änderung der Leiterdurchmesser verringert werden. Diese wird zweckmäßig so erfolgen, daß die hierbei gleichzeitig hervorgerufene Induktivitätsänderung der Leiter so bemessen ist, daß der Quotient LjC, der den Wellenwiderstand allein be- stimmt, sich nicht ändert. Die so gegebene Ausführung einer Halterung (siehe Abb. 2) läßt sich rechnerisch nur festlegen, wenn der Verlauf der elektrischen Kraftlinien überall rechtwinklig zu den Leitern erfolgt5. Leider ist aber an der Stelle der sprung- haften Änderung der Leiterdimensionen ein recht komplizierter Verlauf gegeben, der keine Voraussagen erlaubt. Der so bedingte Wellenwiderstand der Halterung kann nur experimentell ermittelt werden. Die Herstellung einer einwandfreien Hal- 1 Siehe hierzu die eingehenderen Ausführungen in der Einleitung (Kapitel I). 2 Siehe hierzu weiter unten die Ausführungen auf S. 85—88. 3 Sie z. B. hierüber bei Vilbig, Lehrbuch der HF-Technik. 4 Es sei hier vor allem auf die in der letzten Jahren in der Zeitschrift f. HF-Technik und Elek- troakustik erschienenen Abhandlungen von Weissfloch und von Meines hingewiesen. 5 So wurde die in Kapitel III, S. 8 beschriebene Halterung berechnet. terung kann somit nur dadurch erfolgen, daß die Halterung schrittweise verändert wird, bis die nach jeder Änderung durchgeführte experimentelle Prüfung Brauch- barkeit ergibt. Da die Anfertigung guter Halterungen also nicht einfach und vor allem ihr Abgleich umständlich ist, wird man versuchen, mit möglichst wenig Hal- terungen auszukommen. Damit kommen wir zu der zweiten Möglichkeit, den Hal- terungsschwierigkeiten zu begegnen. Diese besteht in der Verwendung einer ein- zigen Halterung an einer Stelle der Leitung, an der ihr Einfluß relativ leicht über- blickt werden kann. . In Kapitel III hat der Verfasser gezeigt, daß es entgegen anderen Ansichten durchaus möglich ist, mit einer einzigen, am Ende der Leitung angebrachten Hal- terung auszukommen, wenn ein geeignetes Meßverfahren gewählt wird. In der fol- genden Abhandlung ward nun der -Einfluß einer solchen Halterung berechnet und angegeben, wie er erfaßt und bei der Bestimmung des Abschlußwiderstandes eli- miniert werden kann. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Halterung aus einem ein- wandfreien Isolationsmaterial hergestellt und ihre Wirkung auf die Leitung infolge- dessen durch einen Vierpol ohne ohmsche Glieder darstellbar ist. An den Stellen des Ein- und Austrittes der längs der Leitung laufenden Wellen- züge in und aus der Halterung werden Teile dieser Wellenzüge reflektiert. Dieser Reflexionsvorgang kann in seiner Wirkung auf die Spannungsverteilung längs der Leitung auch durch die Existenz einer dem Abschluß widerstand parallel geschalteten Kapazität oder eine mit dem Abschluß in Reihe geschaltete Selbstinduktion erklärt w-erden. Es läßt sich nämlich stets eine Kapazität bzw. Induktivität angeben, die eine Phasendrehung der am Ende reflektierten Welle bewirkt, so daß der reflektierte Wellenzug genau so verläuft wie die Überlagerung der bei nicht vorhandener Ka- pazität rücklaufenden Welle mit den von Anfang und Ende der Halterung rückge- worfenen Wellen. Diese die Wirkung der Halterung darstellende Kapazität bzw. Induktivität ist verlustlos anzusetzen, solange der die Halterung darstellende Vier- pol, wie vorausgesetzt, keine dämpfenden Glieder besitzt. Die Belastung der Leitung mit einer verlustlosen Kapazität ist vor allem auf die Phasenverteilung und weniger auf die Amplitude der Spannung längs der Leitung von Einfluß. Die Phasen Verteilung wird aber bei nicht zu großem Leitwert des Ab- schlusses in erster Linie durch die Blindkomponente des Abschlußwiderstandes be- stimmt. Hieraus könnte man folgern, daß die durch die Halterung bedingte Störung vor allem bei der Bestimmung des Blindanteiles des Abschlußwiderstandes berück- sichtigt werden muß. Aus diesem Grunde ist.in der vorliegenden Arbeit der Einfluß der Halterung zunächst auf reine Blindwiderstände als besonders wuchtig betrachtet und hauptsächlich behandelt worden. Die Beschränkung auf rein imaginäre Ab- schlußwiderstände hat zudem den Vorteil, die folgende Theorie wesentlich zu ver- einfachen und bedingt relativ leicht zu übersehende Ergebnisse. Nur bei Vorliegen spezieller Halterungsarten ist der Einfluß dieser Halterungen auf die Komponenten eines beliebig komplexen Abschlusses leicht erfaßbar. Dies wird am Beispiel der ,,ideal kapazitiven“ Halterung ausgeführt. An diesem Beispiel wird gezeigt, daß entgegen der soeben entwickelten Anschauung auch der Realteil des Abschlusses durch die Halterung stark beeinflußt werden kann. Im folgenden Abschnitt der Arbeit soll zunächst der Einfluß einer verlustlosen Kapazität behandelt werden. In den darauf folgenden Betrachtungen wenden wir uns sodann der Frage zu, in welcher Weise die die Halterung ersetzende Kapazität vom Abschluß widerstand abhängt. Die Behandlung dieses Problems erfordert die Heranziehung der Vierpoltheorie der Leitung und führt zu wesentlichen Erkennt- nissen bezüglich der Bestimmung der Halterungsstörung und der Möglichkeit ihrer Eliminierung zwecks einwandfreier Bestimmung imaginärer Abschluß widerstände. 73 2. Der Einfluß einer Kapazität am Ende der Leitung auf die Bestimmung rein imaginärer Abschluß widerstände. Der rein imaginäre Abschlußwiderstand sei durch eine positive oder negative Kapazität C, der die Halterung ersetzende Kondensator durch eine Kapazität C0 dargestellt. Ohne Abschlußwiderstand bewirkt C0 eine Verschiebung l0 gemäß der Gleichung tg 2= Z a> C0. (2a) Mit Abschlußwiderstand erhöht sich die Verschiebung der Spannungsverteilung um die meßbare Strecke l. Es gilt für diese tg 2 71 = Z (O.{C + C0). (2b) Die Anwendung des Additionstheorems der tg-Funktion auf Gleichung (2b) und die Verwendung von (2 a) führt zu tg 2 71 — -(- Z oj Cq Zco(C+C0}= 1 —Zo>6'0-tg2 n- (2o) V „ . O 1 1 + (Zn C'0)2 Z co C = tg 2 n • 1 —Z(oC0-tg 2ji - In Unkenntnis der Störung durch C'0 würde man C nach der Gleichung Z co Cf = tg 271 - (2d) Ä bestimmen und den falschen Wert Cf erhalten. Uns interessiert vor allem der auf Cf bezogene Relativfehler, der bei der Ü-Bestimmung nach Gleichung (2d) erfolgt. Er ist der nach Cf = -=— tg 2n- aufgelösten Gleichung (2 c) /j oj A C/— I 1 4-1 1 + tg2nj • tg 2 n -— zu entnehmen und hat den Wert AC C-Cf + 0 l0 + 0 l+l0 ~jr- = c ■■ — tg 2 Tr - •tg2jr—— • (2f) Hieraus ersieht man: Der prozentuale Fehler, den man bei Vernachläs- sigung der Halterungskapazität C0 begeht, ist proportional C0, mehr als linear abhängig von der durch C + C0 bedingten Gesamtverschie- bung und mehr als quadratisch abhängig von co. Das Überraschende dieses Ergebnisses ist darin zu sehen, daß vor allem bei großen Kapazitäten C, also bei geringem Anteil der Halterungskapazität an der Gesamtkapazität, der Ein- fluß von C0 groß ist. Die Erklärung hierfür ist darin zu erblicken, daß bei großem C und damit großem l nach Gleichung (2b) C empfindlich gegen geringe Änderungen des Argumentes des tg-Ausdruckes ist und die Fortlassung von l0 hierin demgemäß sich stark bemerkbar macht. 74 Aus Gleichung (2f) folgt weiterhin, daß für sehr kleine Kapazitäten C und damit l-Werte in der Nähe von Null der Fehler keineswegs Null wird, sondern den endlichen Wert tg2 2 7i IJX annimmt. Der Relativfehler wird erst Null, wenn 1 = —10 gilt, d. h. wenn l negativ wird bzw. eine Induktivität L die Leitung abschließt. Wie ist dies zu verstehen ? Aus der Forderung l — —10 folgt Gleichheit der Widerstands- beträge von Induktivität und Halterungskapazität und somit Abschluß der Leitung mit dem unendlich hohen Widerstand eines Sperrkreises,. Die Induktivität L macht somit die durch C0 bedingte Wirkung wieder rückgängig und muß daher mit l0 bzw. I in den gleichen einfachen Zusammenhang wie C0 stehen, d. h. sie kann nach der primitiven Formel (2a) oder (2d) bestimmt werden, wobei l/coC = — co L einzuführen ist. Als Beispiel für die Wirkung einer nicht gut abgeglichenen Halterung seien einige vom Verfasser an einer Doppeldrahtleitung durchgeführte Messungen mitgeteilt, die die Wirkung einer solchen Halterung gut demonstrieren. Die Halterung ist in Abb. 1 skizziert. Sie schließt eine Doppeldrahtleitung ab, deren Leiter in der Pfeil- richtung gestrafft sind, wobei kleine Verdickungen der Leiter hinter der Halterung ein Durchziehen verhindern. Am Ende sind die Leiter geringfügig ausgehöhlt, um die Einklemmung von Kapazitäten zu ermöglichen. Da einerseits die Leiterverdickungen zu gering sind, um die Selbstinduktion der Leiter merklich zu beeinflussen und ander- erseits die Leiter ohne Querschnitts- änderung die Isolierscheibe durch- laufen, ist der Einfluß der Halte- rung lediglich durch die DK-Erhöh- ung des Isoliermaterials gegen 1 bedingt. Die dargestellte Halterung ist daher rein kapazitiv wirksam. Infolgedessen müssen die oben ge- brachten Ausführungen auf sie gut anwendbar sein. In der folgenden Tabelle sind die mit 6 verschiedenen Kapazitäten bei 6 Wellenlängen nach Gleichung (2d) bestimmten schein- baren Kapazitätswerte in pF zu- sammengestellt. Man erkennt, daß in. Übereinstimmung mit der ge- brachten Theorie die Kapazitäts- werte mit abnehmender Wellenlänge schnell geringer werden, und zwar ist der Abfall um so stärker, je größer die Kapazitäten sind. Jedoch ist selbst bei der kleinsten Kapazität von 0.6 pF der Unterschied zwi- schen den bei 3 m und 50 cm gewonnenen Werten beträchtlich. Hieraus folgt, daß bei einer nicht gut abgeglichenen Halterung unter allen Um- ständen die durch sie bedingte Störung erfaßt werden muß, wenn grobe Fehlbestimmungen vermieden werden sollen. Ist C0 bzw. l0 bekannt, so läßt sich die durch die Halterung bedingte Störung nach Gleichung (2f) in einfacher Weise bestimmen. In dem vorstehend gebrachten Beispiel einer Halterung ist C0 zweifellos eine vom Abschluß unabhängige Größe. Bei einer verbesserten Halterung, in der die Leiter zwecks Angleich des Wellen- widerstandes der Halterung an den der Leitung verdünnt fortlaufen, ist dies nicht ohne weiteres selbstverständlich. Es ist daher nicht möglich, aus einem Versuch Abb. 1 75 X C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 3 m 0,61 1,1 1,7 2,2 6,0 17,0 2 0,59 1,0 1,7 2,1 5,5 13,6 1,5 0,58 1,0 1,5 2,0 4,9 10,5 • 1 0,53 0,9 1,4 1,8 3,9 7,2 0,75 0,49 0,9 1,3 1,6 3,1 5,4 ■ 0,5 0,45 0,7 1,0 1,2 2,1 2,95 mit einem bekannten C nach Gleichung (2e) l0 zu bestimmen und anzunehmen, daß bei allen anderen Messungen dieser Z0-Wert gültig ist. Wir müssen daher nun- mehr untersuchen, inwieweit l0 als konstant zu betrachten ist bzw. durch welche Beziehungen Gleichung (2e) zu ersetzen ist, wenn man auf vom Abschluß unab- hängige Parameter nicht verzichten will. 3. Wirkung einer dünnen Halterung bei Leerlauf und Kurzschluß. In diesem Abschnitt sei eine einfache Theorie einer verlustlosen Halterung am Ende der Leitung gebracht, in der angegeben wird, wie groß l0 bei Leerlauf und Kurzschluß ist. Sie ist auf den in praxi immer gegebenen Fall beschränkt, daß die Halterung nur einen geringen Teil der Wellenverteilung aufnimmt bzw. daß die Dicke der Halterung klein gegen die Wellenlänge im Material der Halterung ist. Die Halterung selbst bestehe aus einer Isolierstütze, in der die Leiter in bekannter Weise1 mit veränder- tem Querschnitt fortgeführt wer- den. In Abb. 2 ist die für Doppel- leitungen zweckmäßige Ausführung skizziert. Unter der gemachten Vorausset- zung hinreichend kleiner Dicke der Isolierscheibe wirkt bei offenem Leitungsende die Halterung ledig- lich durch ihre kapazitive Belastung der Leitung. Da dann am Ort der Halterung ein Minimum der Strom- verteilung vorliegt, kann sich die abgeänderte Induktivität der Leiter nicht bemerkbar machen. Umge- kehrt wird bei kurzgeschlossenem Leitungsende nur die in der Halterung erfolgte Änderung der" Leiterinduktivität und nicht deren Kapazität auf den Strom- und Spannungsverlauf längs der Leitung einwirken. Werden mit Ch und Gl bzw. LH und Ll die Kapazitäts- und Induk- tivitätswerte der Leiter pro Längeneinheit inner- und außerhalb der Halterung bezeichnet und mit Al bzw. Ak die Verschiebung der Spannungsverteilung durch die Halterung bei offenem bzw. kurzgeschlossenem Ende2, so gilt Abb. 2 {Lh—LL)d = AkLL (3a) (CB —CL)d = Al Ci. (3b) 1 Siebe hierzu die Ausführungen über reflexionsfreie Halterungen in Kapitel III, S. 48. 2 A l ist mit dem Z0-Wert für kleinste Belastungen identisch. 76 Die erste der beiden Gleichungen folgt so: (La—Ll) ist die gesamte durch die Halterung bedingte Änderung der Induktivität, verglichen mit dem Fall, daß L in der Halterung unverändert bleibt. Dieser Zuwachs an L muß durch eine gleich große Selbstinduktionsabnahme am Ende der Leitung wettgemacht werden, wenn die Spannungsverteilung längs der Leitung unverändert und damit der alte Erre- gungszustand wiederhergestellt werden soll. Dies kann durch eine Kürzung Ak des Endes der Leitung erreicht werden, wobei Ak natürlich so groß gewählt werden muß, daß die gesamte Induktivität des Stückes Ak • Ll gleich dem Induktivitäts- zuwachs in der Halterung ist. Dies führt zu Gleichung (3 a). Wird die Leitung am Ende nicht um Ak gekürzt, so muß dafür das andere Ende gekürzt werden, wenn man ein Resonanzverfahren voraussetzt. Auf jeden Pall wird die Spannungsver- teilung um den nicht gekürzten-Betrag Ak zum Ende hin wandern. In entsprechender Weise folgt Gleichung (3b). Es werde gefordert Al = Ak. Dann folgt aus den Gleichungen (3a) und (3b) = — bzw. ZB = ZL- (3c) Ll Ll Da die Gleichheit der Wellenwiderstände Zh und Zl bekanntlich eine reflexions- freie Halterung verbürgt, gilt somit: Sind die durch die Halterung bedingten Längenänderungen in Leerlauf und Kurzschluß gleich, so ist die Halterung reflexionsfrei. Damit ist gezeigt, daß eine G-Zunahme in der Hal- terung „erlaubt“ ist, solange sie mit einer entsprechenden Z-Zunahme verbunden ist. Hieraus folgt, daß im Leerlauf nur die Kapazitätsdifferenz (Ch — Cz) d re- flektierend wirken kann, wenn die Halterung nicht abgeglichen ist und infolgedessen ihre Kapazität mit der reflexionsfrei wirkenden, aus Gleichung (3 c) berechenbaren Kapazität Cz nicht übereinstimmt. Dieser Kapazitätswert muß durch entsprechende Änderung der Leitungslänge Al ersetzt werden, wenn die Leitung ohne Halterung gedacht wird. Dabei muß aber noch berücksichtigt werden, daß die Wellenver- kürzung im Material um den Faktor zu einem weiteren Längengewinn von ('s/eji — 1) führt. Insgesamt folgt so für den Leerlauf Al ' CL — {Cr — Gz) d -f-{y/efx—1 )d'C. (3d) Dabei ist bekanntlich 0B = K-L-. = = (3e) , d , Oj -.Cb ln ln— ln — rH rL rz wobei K ein Proportionalitätsfaktor ist und rz der Radius des Leiters ist, der die Halterung reflexionsfrei wirken läßt. Aus Gleichung (3 c) folgt für diesen unter Be- nutzung der Gleichung (3e) und entsprechender Formeln für Ll und Lz: /(ln— ln— /— (31) HL-lL + r' ln — — In —. e 1 e rz Tl ln a/rz lna/rL Verwenden wir die Gleichung (3f), um in dem Ausdruck für Cz ?z durch tl zu er- setzen, so folgt Cz=Veß~ = (3g) ln“ rL 77 und unter Einsetzen dieses in Gleichung (3d) wieder die Beziehung (3a). Die Be- ziehung (3a) bzw. (3d) läßt sich also auf zwei verschiedene Weisen ableiten: 1. An die Leitung wird einmal die Halterung, dann Al - Cl als Kapazität angelegt und dabei Al so verlangt, daß die Belastung in beiden Fällen die gleiche ist. Was dabei in der Halterung geschieht, weiß die Meßleitung nicht; 2. Der über Cz hinausge- hende Wert von Ch wird als störend empfunden und die durch ihn bedingte Ver- schiebung berechnet, wobei die Wellenlängenänderung im Material der Halterung berücksichtigt werden muß. — Beide Betrachtungen sind gleichwertig, ganz analog für den Kurzschlußfall durchführbar und führen zu denselben Beziehungen. Die Differenz Al — Ak erscheint als Mangel derjenigen Verschiebung an A/4, die die Spannungsverteilung bei Übergang von Leerlauf zu Kurzschluß erfährt. Sie ist daher mit dem ?0-Wert für Kurzschluß identisch und eine besonders wichtige Größe, da sie gemessen werden kann, ohne daß die Halterung entfernt werden muß, was nur in den seltensten Fällen möglich ist. Aus (3 a) und (3 b) folgt Al— Ak — d. (3h) \L L ktLf Gilt Gleichung (3c), so wird, wie schon oben gesagt, Al— Ak =0. Die Differenz Al—Ak als Funktion der Leiterdimensionen folgt, wenn man in Gleichung (3h) die Beziehungen (3e) einarbeitet: / ln — ln — \ Al— Ak= e— — /a—— ]d. (3i) l ln — ln — / \ rH rL ' Werden in Gleichung (3 h) an Stelle der L- und C-Werte die Wellenwiderstände ‘-y£ ■‘-y'k eingeführt, so erhält man Al Ah h/CliLL l/^H L\ l/^H H fl Ai-Ak=\y j-HlT-ycnTjr citJ Jl-Ai=^(p-p)d. vh \Ah Al) Darin sind Vl und Vh die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten in Luft und Halterung. Ihr Quotient hat den Wert , also wird (3k) Mit Hilfe dieser Gleichung ist es möglich, aus Al— Ak das Verhältnis der Wellen- widerstände zu bestimmen. Die vorliegenden Ergebnisse beweisen, daß die in Abschnitt 2 eingeführte Größe l0 bei Leerlauf und Kurzschluß verschieden anzusetzen ist, wenn Ak von Null ver- schieden ist. Nach Gleichung (3a) ist dies der Eall, wenn Ll von Lh abweicht. Die einfache Theorie des Abschnittes 2 ist dann nicht als streng gültig zu betrachten. Es ist daher erforderlich, die Wirkung einer Halterung mit abgeändertem L einer ausführlichen Untersuchung zu unterwerfen. Dies kann durch das Studium der Vierpoleigenschaften einer Halterung geschehen. 78 4. Strenge Theorie einer dämpfungsfreien Halterung. Bei den folgenden Betrachtungen wird bezeichnet TH = tg— f/etid rx=tgyi. (4a) Dabei ist l die Länge der Meßleitung vom der Leitung abgewandten Ende bis zum Eintritt in die Halterung. Th ist eine für die Halterung, Tl für die ungestörte Lei- tung charakteristische Größe. In der weiter oben erwähnten Arbeit hat nun Abb. 3 H. Metzler gezeigt, daß aus den Vierpolgleichungender am Ende mit einer verlust- losen Halterung und einer Kapazität C belasteten Leitung die Beziehung 1-— T„Tl ZcoC = H (4b) g T„ + Tl folgt. Wir wollen dieses Ergebnis jetzt verwenden und es etwas umformen. Zu die- sem Zweckesei an Stelleder Länge l die die die Spannungsverteilung erfährt, wenn das freie Ende der Leitung mit C belastet wird, eingeführt. Offenbar gilt V = l + lt' wenn l' der Längenwert für freies Ende (C — 0) ist. Aus Gleichung (4b) können wir entnehmen, daß 0 = 0 nur dann erfüllt ist, wenn Tl der Be- ziehung T’L=pi- (4c) A L J- H genügt. Unter Verwendung dessen folgt aus l — V — l'v H rp / rp rp / rp r y v H rp ■‘■L ZÜL /4 J \ * h i | rp / rp / nr * + L ii rp , rp, 6 H J H ~ J v -7T~ AL und unter Einführung dieses in Gleichung (4b) nach kurzer Zwischenreehnung 1 +{t) t*h ZcoC = Tv’ ~ - • (4e) 1 +T*h + Th 79 In Anlehnung an die Definition des Abschnittes 2 definieren wir jetzt die Größe Iq durch die Beziehung ZcoC = tg (4 + V) -tg ~ v„ T ' 4- T ' i _i_ T '2 Z(oC=r£ t/ t0' ~to = t* (4f) wobei T / — tg (2tt/A) 70' bezeichnet wird. Die Vereinigung der Gleichungen (4e) und (4f) gestattet T0' als Funktion von Tv' zu berechnen. Es folgt so aus 1 + (z J 1 + 1+ T‘h + ThTv'(~ — 1 — nach einigen Zwischenschritten (ZL\2 r , rp ,(Zl ZH\ rp Kzh) Th + t’[zh-z-lI-t“ 0 (ZL\2 rp , rp rprrprfZh ZjH\ ,(1 + T H2) T 0' + Tv' [ZhI T-Th~T’ T« \Zh~TJ + T-„ Führt man denselben Gedankengang durch, in dem aber an Stelle der Verschiebung der Spannungsverteilung gegen den Leerlauffall lv' die gegen den Fall des Kurz- schlusses lv" in Gleichung (4b) eingeführt wird, so liefert die ganz analog verlaufende Rechnung an Stelle von Gleichung (4e) wegen l" -f- lv" = l (Siehe Abb. 3) 1 + P« + ThTS (~ ~~] Z 50 cm, für die vor allem Halterungen ge- braucht werden, ist dies leicht zu erfüllen {d < 5 mm). 81 Ersetzt tnan hierin weiter die Tangens-Ausdrücke durch ihre Argumente, was wegen deren Kleinheit erlaubt ist, so folgt Gleichung (3 k). Da lv' lv" der Längenunter- schied zwischen Leerlauf- und Kurzschlußfall ist, stellt Gleichung (4n) einen Zu- sammenhang zwischen Th, Zh/Zl und V — l" dar, mit dessen Hilfe aus zweien dieser Größen die dritte einfach bestimmbar ist. Sie hat vor Gleichung (4m) den Vorteil, daß zwei Längenablesungen statt dreier genügen, um Th oder Zh/Zl zu ermitteln. 3. Vergleicht man die Formeln (4e) und (4h) für Werte von Zh/Zl, die so wenig von 1 abweichen und so kleine Tn-Werte, daß der Zähler des Bruches von Gleichung (4e) praktisch übereinstimmt mit dem Nenner des Bruches der Gleichung (4h), so erkennt man; Die Bestimmung der Kapazität C nach der Näherungs- formel ZcoC = IVist genauer als die nach der Gleichung ZcoC = 1/Tv", wenn Tv' < Tv" gilt und umgekehrt. Kleine Kapazitäten werden also zweck- mäßig aus der „Leerlaufformel“ ZcoC = Tv' und große Kapazitäten aus der „Kurz- schlußformel“ ZcoC = 1 /Tv" berechnet. Der Relativfehler bei Verwendung der einfachen Formeln (41) ist in guter Näherung proportional Tv' bzw. Tv" und pro- portional dem Produkt Th{Zh/Zl — Zl/Zh)- Nach Gleichung (4e) bzw. (4h) ist er bei Verwendung der zweckmäßigen Näherungsformel kleiner als [(I)-1]+Ml-I)=Ml-I) (1+) ■ wenn die Abweichungen von Zähler und Nenner der Quotienten (4e) bzw. (4 h) von 1 gering sind. 4. In der Beziehung (4 m) und bei Abschätzung des Relativfehlers der Gleichungen (41) tritt das Produkt Th{Zh/Zl — Zl/Zh) besonders in Erscheinung. Es sei nun gezeigt, daß ihm eine unmittelbare physikalische Bedeutung zukommt. Betrachten wir wiederum den praktisch meist gegebenen Fall, daß Th klein gegen 1 ist. Dann zeigt unter der weiteren Annahme kleinen T0'-Wertes der Vergleich von (4e) und (4f),. daß gilt. Die exakte Forderung für die Gültigkeit dieser Beziehung ist, daß die Abwei- chung der Zähler von (4e) und (4f) gegen 1 klein ist gegen die Abweichungen der Nenner von 1. Dies ist der Fall, wenn außer Tn « 1 die Ungleichung S)Wg-1) und t 0'« n gilt. Weicht Zh/Zl nicht sehr von 1 ab, so werden beide Gleichungen erfüllt, wenn /£ Zh\ Th {( T'v gilt, wie man erkennt, wenn an Stelle von T0 der Ausdruck Th \ t} 77-] \Lh Zl! verwendet wird. Da in allen praktisch auftretenden Fällen Th klein und Zh nahe bei Zl ist, ergibt sich als Gültigkeitsbereich das Gebiet T'v )) TH■ Läßt man die Forderung TH « 1 fallen, so erhält man für sehr große T'v -Werte den exakten Ausdruck T , Th fZL ZH\ T° ~T+l(4o) 82 wie aus Gleichung (4n) folgt, wenn dort T {v' -\-v") durch 1 /T0' ersetzt wird.— In Gleichung (4o) können wegen der Kleinheit der T-Ausdrücke diese durch ihr Argument ersetzt werden und T2H gegen 1 vernachlässigt werden: V = )• (4p) Die Korrektur große l0' steht also in einem sehr einfachen Zusammenhang mit der Dicke der Halterung d und dem Wellenwiderstandsverhältnis Als wichtigste Folgerung aus Gleichung (4p) ergibt sich: Ist lv' )) so ist die Korrek- turgröße Iq unabhängig von lv. Die am Ende von Abschnitt 2 gestellte Frage läßt sich also dahingehend beantworten, daß die mit einer bekannten, genügend großen Kapazität C bestimmte l0 '-Größe bei allen anderen Blind widerständen, die lv' )) d bedingen, als Korrekturgröße verwendet werden darf. Vergleicht man die Beziehungen (3k) und (4p), so erkennt man, daß im Falle Tv' )) TH die Dif- ferenz Al — Ah mit l0' identisch wird. Dies ist verständlich, da entsprechend ihrer Definition die Differenz Al— Ah gleich dem ?0'-Wert für den Fall des Abschlusses der Leitung mit C — oo sein muß, denn die richtige Bestimmung von C nach Glei- chung (2d) erfordert sowohl die Korrektur des Leerlaufes um A l, wie auch die des Kurzschlusses (angeschlossene Kapazität oo!) um A h. Da aber, wie eben gezeigt, l0' im Gebiet großer Kapazitäten C nicht von C abhängt, folgt: Für lv' )) 's/e/j.d ist die Korrekturgröße l0' identisch mit dem bei Übergang von Leer- lauf zu Kurzschluß sich ergebenden Mangel der Spannungsverschie- bung an 2/4. 5. Nachdem wir T'0 im Gebiet Tv' )) Th abgeschätzt haben, sei es im Bereich Tv' {{ Th untersucht. An dem Grenzfall Tv' — G, der zu T0‘ = i (4q) Vl +T*h' \zJ ■ . , führt, erkennt man, daß T0f und TH von gleicher Größenordnung sind. Damit folgt aus der Bedingungsgleichung Tv' « TH die Beziehung Tv' (( T0'. Verwendet man dies in Gleichung (4g) und berücksichtigt man, daß TH{{ 1 vorausgesetzt werden darf, so erhält man wiederum die Gleichung (4q). Die Beziehung (4q) ist also nicht nur für Tv' =0, sondern im gesamten Bereich Tv' « TH « 1 gültig. Bildet man den Quotienten Q der T0'-Werte (4o) und (4q), so erhält man «J/AIL v y 1 + t*h Hieraus folgt, daß der T0'-Wert für kleine Verschiebungsgröße Tv' stets größer als für große T/-Werte ist, es sei denn, daß Zl = Zjh und TH = 0 ist, d. h., daß keine Halterung vorliegt. 6. Es erhebt sich nunmehr die Frage, wie T0' von in dem Bereich, der durch die Beziehungen (4o) und (4q) nicht erfaßt wird, abhängig ist. Zwecks Klärung dessen bringen wir Gleichung (4 g) in die Form *•'[' + T2»~ T•' +r»,JV I1 +©‘i'-]“T,'[©,_1h (4r) 83 und machen von dem bekannten Satz Gebrauch, daß die Ableitung einer Funktion F (x,y) — 0 aus den partiellen Ableitungen Fx und Fy gemäß der Regel Fx dx -j- Fydy — 0gewonnen werden kann. So erhält man d r'jl +(|),^]-^(|-|)(I + d Jv 2 T„'ji + P„ - T,’ Te(I* —|?)j + ZV[l + j Da Tv' < T {v' -f- v") gilt, folgt aus Gleichung (4n), daß die Ungleichung r/rH(||-|?) ZH gilt (was wir im folgenden vor- aussetzen wollen), da die Annahme eines positiven Vorzeichens der eckigen Klammer sich nach wenigen Zwischenschritten auf die immer gültige Ungleichung (1 + T2I{) yy- > ———? zurückführen läßt. Für den T0'-Wert der Gleichung Au An Ajj (4o) wird also die Ableitung dT0r/dTv' negativ. Das gleiche Resultat ergibt sich für den T0'-Wert der Gleichung (4q), da der Zähler der Beziehung (4s) dann gleich V(|)->[V^-VHI:)2] wird und somit ebenfalls positiv ist. Da sowohl für kleine als auch große T/-Werte dT0'/dTv' negativ ist, erscheint ein monotoner Verlauf von T0' in Abhängigkeit von Tv' wahrscheinlich. Wir wollen nunmehr zeigen, daß dies tatsächlich der Fall ist, indem wir beweisen, daß die Ableitung dT0' jdTv' nicht Null werden und somit ihr Vorzeichen nicht wechseln kann. Der Beweis läßt sich indirekt führen. Würde die Ableitung gleich Null, so müßte nach Gleichung (4 s) r« [' + (|)2 T2“] = T*(| -I)'1 + <4t> gelten. Geht man hiermit in Gleichung (4r) ein, so erhält man mit V (1 + P„) = T\ F(|i)2- ll einen T'0-Wert, der von Tv' unabhängig ist und mit dem der Gleichung (4q) über- einstimmt. Dies bedeutet, daß die Ableitung dT0'/dTv' nur dann gleich Null wird, wenn sie bei allen IV-Werten verschwindet, d. h. wenn T0' konstant bleibt. Dies wiederum ist unmöglich, wie die Berechnung des Quotienten aus den T'0-Werten für kleine und große T/-Werte gezeigt hat. Damit ist bewiesen: Die Größe T'0 sinkt von ihrem Weit für T/ =Omonoton ab auf den Wert, der bei dem größtmöglichen Tv' gegeben ist. Die Wirkung einer Halterung läßt sich also um so besser durch einen konstanten T'0-Wert beschreiben, je weniger die Werte (4o) und (4 q) voneinander abweichen. Sind also die Wellen widerstände 84 der Leitung Zl und der Halterung ZH so abgeglichen, daß der Unterschied der Beziehungen (4o) und (4q) gering ist, so kann der durch die Halterung bedingte Fehler durch eine praktisch vom Abschluß widerstand der Leitung nur wenig ab- hängige Kapazität verursacht gedacht werden. 5. Kapazitive und induktive Halterungen. Bei den Untersuchungen des letzten Abschnittes haben wir uns auf den Fall beschränkt, daß der Wellen widerstand der Leitung größer als der der Halterung ist. Nur wenn dies der Fall ist, liefert die Beziehung (4q) einen reellen T'0-Wert und nur für diesen Fall wurde der monotone Verlauf von T'0 bewiesen. Ist dagegen Zl kleiner als ZH, so wird nach Formel (4e) ZcoC < Tv’. Der Ansatz (4f) vermag dem nicht gerecht zu werden, da sich kein re- elles T'0 angeben läßt, für das 1 + T'02 < 1 — Tv' T'q erfüllt werden kann, wenn Tv' so klein ist, wie es bei der Ableitung von (4q) vorausgesetzt wurde. Daraus geht hervor; Ist Zl kleiner als ZH, so kann zumindest bei Abschlußkon- densatoren, die eine geringe Ver- schiebung bedingen, keine Kapa- zität positiven oder negativen Wertes angegeben werden, die, dem Abschlußkondensator parallelgeschaltet, die gleiche Wirkung wie die Halterung hervorruft. Wir wollen nunmehr zeigen, daß die Halterungen, für die Zl < Za gilt, durch dem Abschlußwiderstand in Reihe geschaltete Selbst- induktionen ersetzt werden können. Es sei daher jetzt die in Abb. 4 dargestellte Ersatzschaltung diskutiert. Die gesamte durch L und Cl bedingte Verschiebung der Spannungsverteilung lg wird bestimmt durch die Beziehung Abb. 4 Tg = tg2«1| = Z|@|, (5a) wobei der Betrag des kompletten Leitwertes @ gegeben ist durch Ä--ar-»£- <5b> Die Verschiebung lg ist identisch mit der durch Anschalten von Cr bedingten meß- baren Verschiebung 1'0, da ohne Cr die Selbstinduktion sich in einem Spannungs- bauch bzw. Stromknoten befindet und somit keinerlei Einfluß auf die Spannungs- verteilung haben kann. Würde L sich nicht an einem off enen Ende befinden, sondern anstelle von C die Leitung abschließen, so würde es eine Verschiebung l bedingen, die durch die Beziehung =t«24=^ gegeben ist. Wegen der Idendität von lg und lv' folgt somit aus Gleichung (5a) und (5 b) 1 _ . 1 _ 1 Tv' ZojC Th 85 ZraC = JV i (sc) Tl Durch Vergleich mit Gleichung (4e) folgt für Tp die Bedingungsgleichung . . zv + ) und hieraus T. ■ T*§!-r) V rp2 | rp t /k 11 f- Tv -y—i (5d) * 1 + (zt) r2g 1+la)2'- Der Relativfehler, der ohne Berücksichtigung der Halterung mit der Beziehung ZcoC = Tv' begangen wird und der nach Gleichung (5c) durch T//Tl gegeben ist setzt sich hiernach aus zwei Gliedern additiv zusammen. Das erste ist kleiner als T2h und von Tv' unabhängig, das zweite ist Tv' proportional. Die Größe Tl selbst, hat den Wert 1 +{p)2 Pb T i = 7 7 7 ' k f ' ,7-\tx • <5e> + T7[l-i£] Sie ist also ebenso wie T0' von Tv' abhängig. Im Gegensatz zu T0' wird sie für Tv' = 0 zu Null. Bei hinreichend kleinen! Tv' ist sie dieser Größe proportional; i + Pu Tl (IV « 0) = Tr' r H „ • (8t) Sie steigt monoton mit Tv’ an, um bei großem Tv' sich asymptotisch dem Wert 1 +(— J PH Tl (ZV » oo) = ~g%- (5g) ZjH Zj]j \ Te \Zl ZhI zu nähern. Der Wert T'v = oo wird durch die endliche Kapazität, die der Bedin- gung ccPLC — 1 genügt, hergestellt. Denn bei Yorliegen dieses Kapazitätswertes ist die X-G-Reihenschaltung in Resonanz, d. h. die Leitung wird kurzgeschlossen. Wird C größer, so wird Tv' negativ und nimmt schließlich den in Gleichung (4n) angegebenen Wert an. Hierfür wird aus Gleichung (5c) 1 + &] Pn Tl (0 = co) = -g g- V' T jr- r-(if-|)+I--h(l)lrTfc(fe-|) 86 1 /rl N Th fZH Zt\ ~ ) ~ 1 + t*b\zl zj' ’ Dies stimmt bis auf das Vorzeichen mit den Werten von und T0' für große Tv' überein. Unter der Voraussetzung ZH > Zl sind die Ausdrücke (5e) bis (5h) alle positiv. Wegen der monotonen Abhängigkeit der Größe Tl von Tv' ist damit bewiesen, daß für alle Tv' sich eine positive Selbstinduktion L angeben läßt, die in Reihe mit dem Abschluß geschaltet, die Wirkung der Halterung hervorruft. Allerdings ist die Größe Tl sehr von Tv' abhängig (Gleichung 5f!). Da die in Abschnitt 4 für Halterungen mit ZH < Zl eingeführte, die Halterung ersetzende Kapazität weit weniger von Tv' abhängt, ist die praktische Bedeutung ihrer Einführung we- sentlich größer als die der Größe Tl- Da die Wirkung von Halterungen mit ZR > Zl durch eine Selbstinduktion und die von Halterungen mit ZH < Zl durch eine Kapazität hervorgerufen werden kann, erscheint es sinnvoll, Halterungen der ersten Art als induktive und solche der zweiten Art als kapazitive Halterungen zu bezeichnen. Die Ergebnisse der Ab- schnitte 4 und 5 lassen sich daher wie folgt zusammenfassen: Die Wirkung einer kapazitiven Halterung kann durch eine dem Abschluß parallel geschaltete Kapazität ebenfalls hervorgerufen werden. Die Größe dieser Kapazität ist umso geringfügiger vom Abschluß abhängig, je dünner die Halterung und je besser ihr Abgleich ist. Die Wirkung einer induktiven Halterung dagegen kann durch eine dem Abschluß in Reihe geschaltete Selbstinduktion verursacht werden, deren Wert in starkem Maße vom Abschluß abhängig ist. Aus Gleichung (5 d) folgt ebenso wie aus Gleichung (4e), daß besonders bei großen T/-Werten, also bei großen Abschlußleitwerten, die Halterung eine starke Kor- rektur der ohne Halterung gültigen Eormel ZcoC = Tv’ erforderlich macht. Das im Abschnitt 2 unter Voraussetzung einer ideal kapazitiven Halterung gewonnene Ergebnis erfährt demnach seine Erweiterung auf alle Arten von Halterungen. Dies gilt für beliebige rein imaginäre Abschluß widerstände. Wir haben zwar immer den Fall einer angeschlossenen Kapazität C betrachtet, jedoch wurde an keiner Stelle vorausgesetzt, daß C positiv ist. Die Theorie umfaßt also auch negative G-Werte oder, was dasselbe ist, am Ende der Leitung angeschlossene Induktivitätswerte. Abschließend sei die Frage beantwortet, in welchem der Fehler der Beziehung ZcoC = Tv' praktisch gleich Null ist. Betrachten wir die für kapazitive Halterungen gültige Gleichung (4f), so sieht man, daß dies für T0' = — Tv' der Fall ist. Das bedeutet, daß Abschlußwiderstände, die ungefähr die gleiche Verschie- bung mit umgekehrten Vorzeichen bedingen, wie sie durch die Halterung allein hervorgerufen wird, einwandfrei nach der Formel ZcoC = Tv' bestimmt werden. Der Abschlußwiderstand hat also sozusagen die durch die Halterung bedingte Ver- schiebung rückgängig zu machen bzw. er muß mit der Halterung zusammen die Leitung mit einem unendlich großen Abschlußwiderstand abschließen. Bei einer kapazitiven Halterung muß der Abschluß somit durch eine Selbstinduktion ge- bildet werden. Wie hängt nun T0' = Tv' von Zl, Zh und TH ab ? Die Beantwortung dieser Frage ist mit Hilfe von Gleichung (4e) möglich. Aus dieser folgt mit ZcoC = Tv' + r.r/g-g T.'= — a. (5i) Ar 87 Bei einer induktiven Halterung folgt aus den Gleichungen (5 c) und (5f), daß für sehr kleine Tv' die Formel ZcoC = Tv' praktisch richtig ist. Außerdem verschwin- det die Korrekturgröße Tv/Tl nach Gleichung (5d), wenn die Beziehung (5i) gilt. Dies ist selbstverständlich, da die Ableitung von (5i) nichts über den kapazitiven oder induktiven Charakter der Halterung voraussetzte und drückt den trivialen Fall aus, daß Tl = oobzw. L = 0 wird, wie aus Gleichung (5e) folgt. Fassen wir das Hauptergebnis dieses Absatzes nochmals kurz zusammen: Ka- pazitive Halterungen (Zl> Zh) gestatten die durch sie verursachte Störung durch einen Kapazitätswert darzustellen, der dem Abschlußwiderstand parallel geschaltet ist und im allgemeinen nur gering vom Abschluß der Leitung abhängt. Induktive Halterungen dagegen (ZH > Zl) gestatten nicht die Einführung praktisch wenig variabler Korrekturgrößen. Hieraus folgt die wichtige Vorschrift: Ist es nicht möglich, eine Halterung ideal zu gestalten {ZH — Z£), so soll man die Konstruktion der Halterung so ausführen, daß die Halterung ka- pazitiv wirkt. 6. Die Wirkung einer ideal kapazitiven Halterung auf die Kompo- nenten eines beliebig komplexen Abschlußwiderstandes. In den vorangegangenen Abschnitten dieser Arbeit wurde ein rein imaginärer Abschluß der Leitung vorausgesetzt. Für nicht rein imaginären Abschluß erfährt die gebrachte Theorie eine wesentliche Komplizierung. Ist indessen die Halterung „ideal kapazitiv“, d. h. läßt sie sich durch eine Kapazität C0 ersetzen, die unab- hängig vom Abschlußwiderstand ist, so ergeben sich übersichtliche Beziehungen. Dieselben sollen nunmehr entwickelt werden. Der Abschluß bestehe aus der Parallel- schaltung einer Kapazität C mit einem Widerstand R = l/6r. Der mit der Halterung zusammen gegebene Endwiderstand der Leitung hat somit die Leitfähigkeit ® = G +j(o{C + C0). (6a) Wie an anderer Stelle gezeigt1, besteht zwischen dem Wellenverhältnis W der Span- nungsverteilung und der Verschiebung der Verteilung l+l0 gegenüber dem unbe- lasteten Fall einerseits und Gü andererseits der folgende Zusammenhang; Z® = Tg*-+i*. wobei xj2 — ArcTgTF und (p = 4n{l ~Mo)M gilt und Z der Wellen widerstand der Leitung ist. Somit folgt Z© = jtg 2n— j ArcTgTf. (6b) A Dabei ist l die bei Anbringung des Abschlusses hervorgerufene Verschiebungsgröße und l0 die durch die Halterung bedingte. Für letztere gilt natürlich Zü,c„ = Verwendet man dies sowie Gleichung (6a), so folgt nach Auftrennung in die Kom- ponenten der komplexen Gleichung (6b) nach kurzer Rechnung: 1 Siehe hierzu Kapitel V. 88 1 -ftg^^-ti ZG = W (6c) \+W2ig22n~^ A ZcuC = tg 2n l±h 1 W%. _ tg* 2n\. (6d) 1 + W’2tg22.i-—2 X A Vergleicht man diese Beziehungen mit den ohne Halterung gültigen, die man erhält, wenn l0 = 0 gesetzt wird, so erkennt man: Die Größen G und C + C0 werden nach den bekannten Formeln, die die Halterung nicht berücksich- tigen, richtig bestimmt, wenn l durch /-f-10 ersetzt wird. Es sei nunmehr der durch das Auftreten von l0 bedingte Fehler der Gleichungen, die ohne Halterung gültig sind, diskutiert. Die letzteren Gleichungen lauten offenbar 1 +tg22nl- ZG, = W — (6e) 1 + W2 tg2 2 jz - A 7 i W2 ZcoCf = tg 2 7i j • (6f) A 1 + Tf2 tg22 n - A Wir wenden uns zunächst dem Ausdruck (6c) zu. Die Anwendung des Additions- theorems der tg-Funktion führt nach einigen Zwischenschritten mit den Abkürzun- gen Ti = tg2nlß und T0 — tg2jtl0ß zu 1 _L 7,2 1 4_ T 2 yn _ rrr 1 * 1 0 / ß 1 + W2Tf ( T02{Tl2 + W2) — 2TlTl{l — W2)' 1 + W2 Ti4 Setzt man die bei einer leidlich guten Halterung immer erfüllte Ungleichung l° <1,6 T5o —► r0+2 p oos(4k| + (2) aus der sich der Zusammenhang zwischen W und B W‘‘2 1 + . 2 B (3) sin2 ji — A leicht herleiten läßt. Die analog wie die Knotenbreite im Maximum definierbare „Bauchbreite“ hat den Vorteil, als Maximumgröße weniger störanfällig zu sein, aber den wesentlichen Nachteil, wegen des flachen Spannungsverlaufes in der Nachbarschaft des Maximums nicht genau meßbar zu sein. Sie wird daher nicht benutzt. Weiterhin ist der Zusammenhang zwischen l bzw. k und cp bekannt: Es ist A l ~f~ d Je d cpL = 4 n — ■■■— (pK = 4 n — n. (4) A A Der Index L bzw. K deutet darauf hin, ob die Probe an dem der Meßleitung abge- wandten Ende offen oder kurzgeschlossen ist. Auch Gl. (4) ist evident: Durch die Probe wird ein Teil der Spannungsverteilung aufgeschluckt. Dieser Teil der Span- nungsverteilung könnte ebenso gut durch eine Fortsetzung der Leitung um l + d über den Probenanfang hinaus (bzw. um l vom Probenende aus) aufgenommen werden, ohne daß sich die „Phasenverteilung“ längs der Meßleitung ändert. Da aber einer Längenänderung A die Phasenänderung 2 n entspricht, muß der Länge l -\-d die Phase 2 n {l-\-d)jA gleichwertig sein. Da ferner die Welle auf ihrem Hin- und Rückweg die Gesamtlänge 2 (l -f- d) durchlaufen muß, wenn die Probe durch ein Leitungsstück ersetzt wird, ergibt sich für die gesamte Phasendrehung der dop- pelte Wert der Gleichung (4). Bei der Berechnung der „Kurzschlußphase“ gilt Gleiches. Nur muß noch berücksichtigt werden, daß die äquivalente Leitungslänge Je ~\-d an ihrem Ende entsprechend der Definition von k kurzgeschlossen zu denken ist, die Spannung am Ende also einen zusätzlichen Phasensprung um n erfährt. Die im folgenden gebrachten Auswerteverfahren haben Gültigkeit für Lecher- leitungen in offener und geschlossener Bauweise. Sie gelten für das meist gebräuch- liche „Abtastverfahren“, bei dem die Spannungsverteilung längs einer Lecherleitung mit Hilfe einer verschiebbaren Sonde untersucht wird, und auch für das Resonanz- verfahren, bei dem die Meßleitung auf Resonanz abgestimmt und die Resonanz- kurve ausgemessen wird. Bei Verwendung von Resonanzverfahren ist in den fol- genden Formeln das Wellenverhältnis W durch eine andere Größe zu ersetzen. Ein vom Verfasser entwickeltes Verfahren1, das besonders übersichtlich ist, fordert einfach den Ersatz der Knotenbreite B durch die Resonanzkurvenbreite 2 Al, die in 0,7-facher Höhe des Maximalwertes der Resonanzkurve bestimmt wird. Es gilt somit für das gesamte Verfahren ohne Einschränkung: B=2Al-’W>=1+——ar (5) sin2 2 re — A Die Phasenbetrachtung gilt in gleicher Weise für das Resonanz verfahren. Bei diesem wird die Verschiebung bestimmt, die mit der Kurzschlußbrücke am der Probe ab- gewandten Leitungsende vorgenommen werden muß, um die Leitung bei Belastung mit der Probe wieder auf Resonanz abzustimmen. Es ist physikalisch einleuchtend und auch mathematisch ableitbar, daß diese Verschiebung übereinstimmen muß 1 H. Schwan, Theoretische Behandlung der Resonanzverfahren zur Bestimmung komplexer Widerstände bei Dezimeterwellen [1945]. 94 mit der durch die Probe bedingten Verschiebung der Spannungsverteilung längs der Leitung. Auch hierauf soll näher im Bericht über das Resonanz verfahren ein- gegangen werden. Zusammenfassend gilt: Alle im folgenden für das Abtast- verfahren angegebenen Formeln gelten auch für das Resonanzver- fahren, wenn das Wellenverhältnis mit Hilfe von Gleichung (5) durch die Resonanzkurvenbreite ersetzt wird. Vorausgesetzt wird, daß die zu untersuchende Probe am Ende der Leitung sitzt und die Leitungsdimensionen in der Probe unverändert bleiben1. Biologisches Material oder Flüssigkeiten werden hierbei von „Wänden“ eingefaßt, die nicht reflektieren. Wie solche Wände be- schaffen sein müssen, ist in Kapitel IV dargelegt. 2. Allgemeines Auswerteverfahren ohne Verwendung komplexer tg-Tafeln. Die Berechnung der Materialkonstanten vollzieht sich in zwei Schritten: Zunächst wird aus den Werten der Spannungsverteilung der Eingangswiderstand der Probe im Leerlauf- und Kurzschlußfall ermittelt. Die Leitung selbst weiß dabei nicht, wie diese Eingangswiderstände Zustandekommen, ob durch einen punktförmigen komplexen Abschluß oder durch die Probe. Dann wird aus den Eingangswider- ständen auf die Materialkonstanten mit Hilfe der Kenntnis der Probendicke d geschlossen. A. Zusammenhang zwischen Eingangswiderstand und Spannungs- verteilung. Bekanntlich gilt für den Eingangswiderstand die Beziehung 1 4-b 1 4-pe — i v 2) 9?=:—-t-Z = Z ' - —r- ' • (6) 1— p 1 —P e-Jv K } Hieraus folgt nach kurzer Zwischenrechnung, bei der der Nenner reell gemacht wird: % = 1 — P2 — j ’ 2 P sin cp Z 1 -f- p2 — 2 p cos

tg#= — —sin cp. (8b) 1 — p2 Wird anstelle von p das Wellenverhältnis W nach Gleichung (1) eingeführt, so folgt nach wenigen Zwischenschritten 1 Siehe Abbildung 4 der Einleitung! 2 Siehe z. B. Vilbxg, Lehrbuch der HF-Technik. 3 Siehe hierzu Näheres Seite 101 f. 95 2 1 + W2 + (1 — W2) cos? 1 + F2 — (1 —F2) cos

fi L) {G + j co e C). (11) Wegen der Definition von £+ und /*+ und wegen 1/ LG — c ist dies identisch mit y =j 2-J~ye+ • (lla) Andererseits folgt aus der Definition von 3 (nb) Multiplikation und Division der Gleichungen (11a) und (11b) ergeben 96 3 .2 n rl = J1 >l ('2a) Z . 2 n y- = 1—E+. (12b) Die Auftrennung dieser beiden Beziehungen in die reellen und imaginären Kom- ponenten unter Verwendung von (9a) liefert das Endresultat in der Form: A* = 2~ YrL rK ja cos &L 2 &K -f ß sin (13a) X 1 f & L -j- ’&K . ß'il -j- 'd'v1 — ] (13b) l‘ tg 0, = 2-'j/ rL r K 1/3 ms—-- — a sin 1 (13c) . O X 1 To ’&'L “k &K , • &L + £,g#-=2^V^=pCOS“2^+OISln—J (13d) ß $L “h &K #11= arc tg — (13e) a 2 a . 3 . &L + /19., #e= arctg-H (13 f) x 2 Die Gleichung (13d) liefert die elektrische Leitfähigkeit in C*1 cm'1 auf Grund fol- gender Beziehung; G x £ tg # e = —- = 4 71 9 -1011 — = Q0Xx. (13g) OJ (J (O Das im vorstehenden niedergelegte Rechenverfahren erfordert eine umfangreiche Rechenarbeit: Die in den Gleichungen (8c) und (8d) niedergelegten Größen r und tg & bedingen in Leerlauf und Kurzschluß 20 primitive Rechenoperationen und 6 Tabellenwerte, a und ß erfordern weitere 12 primitive und 4 Tab eilen Operationen (Gleichungen 10b und 10c!) und die Gleichungen (13a), (13b), (13e) und (13f) ins- gesamt 13 primitive und 3 Tabellenoperationen. Alles in allem sind also für die vier Materialkonstanten e, n, &E und 45 primitive Operationen und 14 Tabellen- werte erforderlich. Ein Teil dieser Arbeit kann durch graphische Methoden ersetzt werden. Dies betrifft vor allem die Ermittlung der Eingangs widerstände: Bekannt- lich1 bilden die geometrischen Orte gleicher p-Werte und gleicher 99-Werte ein System orthogonaler Kreisscharen, wenn auf Abszisse und Ordinate die Komponenten des komplexen Eingangsleitwertes dargestellt werden. Diese Kreisscharen gestatten als Polarkoordinaten, auch Betrag und Phase, also die uns interessierenden Größen, zu entnehmen. Da sie aber die gesamte Koordinatenebene ausfüllen, kommt es häufig vor, daß man Bereiche der Darstellung aufsuchen muß, die entweder über- haupt nicht oder nur ungenau auf dem Diagramm enthalten sind. Aus diesem Grunde ist es zweckmäßig, das die Koordinaten ebene ausfüllende Diagramm auf einen Einheitskreis abzubilden. Es entsteht infolge der Koordinatentransformationen aber der Nachteil, daß zwar die cartesischen, nicht aber die Polarkoordinaten von 9? bzw 1/SR entnommen werden können. Um zu diesen zu gelangen, sind also zusätzlich 4 primitive Rechenoperationen und 1 Tabellenwert je im Leerlauf und Kurzschluß 1 Siehe hierzu z. B. die obengenannte Arbeit von Knol und Strutt. 97 erforderlich, also insgesamt 10 Operationen. Da die Bestimmung von p und q> eben- falls einige Rechenoperationen erfordert, bedeutet also die Benutzung des letzter- wähnten Diagramms etwa eine Halbierung der Rechenarbeit, die zur Ermittlung des Eingangs Widerstandes erforderlich ist. Da sich nun aber gerade die durch das Diagramm abgenommene Arbeit der Ermittlung der Rechtwinkelkomponenten bei zweckmäßiger Umformung von Gleichung (7) in den meisten praktischen Fällen ganz wesentlich herabsetzen läßt, wie weiter unten gezeigt wird, und diese Arbeit nur etwa ein Viertel der insgesamt aufzuwendenden Rechenarbeit darstellt, haben wir hier in Anbetracht der hohen Anforderungen, die an ein gutes Diagramm zu stellen sind, ein solches nicht in Gebrauch genommen. Abschließend sei angegeben, wie sich das angeführte Verfahren vereinfacht, wenn die Proben keine Verluste aufweisen, d. h. wenn $e = = 0 gilt. Aus den Glei- chungen (13e) und (13f) folgt, daß dann ß = #£, ■&£ — 0 wird, ß — 0 wiederum *" bedingt nach Gleichung (10b) cos =0 bzw. sin = £ 1. Da oc eine A A positive Größe ist, folgt somit aus Gleichung (10a) tg y,d= l/ — • (14a) r rL Die Gleichungen (13 a) und (13 b) lauten wegen $£ -f- ’&k =0 (14b) II = — a KrL. (14c) ». A 7t Im dämpfungsfreien Fall ist W — 0. Die r-Werte folgen also aus der vereinfachten Gleichung (8 c): 1 + cos q> r2 = - (14d) 1 — cos q> Die Berechnung von e und n erfordert insgesamt 17 Rechenoperationen. 3. Allgemeines Auswerteverfahren unter Verwendung komplexer tg-Tafeln. Aus der Gleichung (6) 1 4- p e~ r- (6) 1 — pe-Jf» v ' folgt mit p = e ~ x 1 4-c — + J ¥>) x -4- i w , = Z Ctg - '1? • (15) 1—e — (*+j=3Ctgy2 gilt. Hieraus folgt: Die Forderung (25c) bedeutet, daß der Realteil von Gleichung (23) auf wenigstens 10%, der Imaginärteil auf wenigstens 20% genau richtig ist. Auf Grund des Vorgesagten begeht man keinen großen Fehler, wenn man für AbschätzungeninGleichung(25c)Äcdurch(2 ndß) e und Im durch (2 n d/X) (etg$e) ersetzt. Dann geht (25 c) unter der Annahme tg &E < über in ± (i#.ifti y;f <.... « Die Forderung (23d) ist in allen praktisch auftretenden Fällen erfüllt (z. B. bedingt e = 100 bei X — 50 cm ein d von weniger als 5 mm!). Damit ist gezeigt, daß die Gleichung (25) mit höchstens 1% bzw. 3% Fehler be- haftete Ergebnisse liefert. Die Anwendung der-Formeln (25) ist einfach, da die Größen 2 n djk und Re sowie Im ohnehin bei jedem Auswerteverfahren bestimmt werden müssen. Zu der durch Gleichung (23) bedingten Arbeit kommen noch 7 Rechenoperationen hinzu. 103 5. Auswertung bei sehr dünnen Proben (2 n d « X)\ Ist die Probe so dünn, daß der durch sie gegebene komplexe Widerstand als prak- tisch punktförmig konzentriert angesehen werden kann, so werden tg L und tg K, wie man den Gleichungen (20) ansieht, zu so kleinen Größen, daß im Ausdruck arc tg V tg L • tg K i —ÜTTW“=1-3t*£-‘«Ä-- das Produkt tg L ■ tg K gegen 1 vernachlässigt werden darf. Man erkennt so, daß das arc tg z/z -Glied der Gleichungen (20) eine Korrektur der „Punktabschluß- gleichungen“ 2 7i d . r 2 7i d . __ £+ = tg L ; —J- /t+ = tg K (23) darstellt, die umso beträchtlicher wird, je größer, der von der Probe aufgenommene Teil der Welle infolge größerer Dicke d wird. Wird auf die komplexen tg-Funktionen tg L und tg K das Additionstheorem der komplexen tg-Funktion tg (x -iy) =t8Ml-Tyy)-)Tgy(l+tg■,) = 6 v 1 + tg2 X • Tg2 y ' angewandt, so erhält man nach Komponententrennung aus Gleichung (23) —jp * = tg f-y (* + <*)1 (26a) * J l+WJtg^^l+d) o, J ' 1 + tg2-J- (* + <() -A S tg ». = WL — f = Im. (20 b) 1 + Die entsprechenden Gleichungen für /1 erhält man, wie auch im folgenden immer, wenn l durch k und Wz durch W% ersetzt wird. Die Gleichungen (26) sind auch aus Gleichung (7) leicht ableitbar, wenn dort Real- und Imaginärteil von 9? getrennt und für p und (p die Größen Wi und l eingeführt werden. Welches ist der Fehler der Gleichungen (23), (26a) und (26b)? Wie aus der Ab- leitung ersichtlich, wird der Fehler dadurch hervorgerufen, daß arc tg z/z durch 1 ersetzt wird. Da die Potenzreihendarstellung von arc tg z alternierend ist, genügt es zur Abschätzung des Fehlers, die durch das zweite Glied der Reihe bedingte Kor- rektur der Beziehungen (26) zu erfassen. Man erhält so —«+ = ( Rl - Vl] ) 1. (27) Darin sind RL und RK die Realteile von tg L und tg K, JL und JK deren Imaginär- teile. Trennt man die Real- und Imaginärteile beider Seiten von Gleichung (27), so folgt nach kurzer Zwischenrechnung 1 Das Verfahren ist korrekt, wenn Betrag und Phase der Größen tg-L und tg K um weniger als die geforderte Meßgenauigkeit durch den Faktor 1—x/a tgL tgkr beeinflußt werden. 104 = (27a) — €ig». = — JLJK+Ri*~A- (27b) Die Gleichungen (27 a) und (27 b) lassen den Fehler der Beziehungen (26) erkennen; Es ist — = - (2 jlJk-RlRk+ Jl* ~) e 3\ Kl) (28) — = (2 Rl Rk- JL JK + • Die Gleichungen (27) sind eine Verallgemeinerung der Gleichungen (25) für rein dielektrische. Proben. Man erhält die letzteren aus (27 a) und (27 b), wenn man, was in der Korrektur statthaft ist, Rk — 1 und Jk — 0 setzt. Für den praktischen Gebrauch ist es oft nützlich, zu wissen, wie die Korrektur- werte mit den Materialkonstanten Zusammenhängen. Da die Korrekturwerte ohne- hin für nicht zu schlechte Konvergenz der arc tg 2-Reihe Gültigkeit beanspruchen, wird man sie als zuverlässig ansehen, so lange sie gegen 1 nicht zu groß werden (etwa 0,1 obere Grenze!). Man begeht dann nur einen Fehler höherer Ordnung, wenn man von den Beziehungen (26) Gebrauch macht. So folgt s f* — lj (28a) ir ~ s e" [tg *<■ {**“2]' (28b) Für Proben mit yernachlässigbarem tg und kleinerem tg &e ist dies identisch mit Ae 1 f2jid\2 Ax 2(2nd ~e~ < 3 (~Ä ) £/,;lr<3[—J Die Fehler sind kleiner als 3% bzw. 6%, wenn y/TJi < A/20 d erfüllt ist. Man wird sich somit merken; Proben mit nicht zu hohem Verlust können (nach den „Punktformeln“ ausgewertet werden, wenn < A/20 d erfüllt wird. In diesem Zusammenhang ist folgende Überlegung von Interesse: Aus der Nähe- rungsformel (gültig für tg L • tg K < 1!) e+ = tg — -tg L • tg Ül j folgt J~=ctgi-ltg£ Da für den komplexen Leitwert der Probe die folgende Formel gilt G — (G -j- j (o e C) d — j o) e C d ( l — j — j —j ' ergibt sich unter Verwendung von Gleichung (17 a) und (17 b) die Beziehung 105 - = *1-1% (29a) und analog für W = {R -\-j m /j. L) d: - = 0k--Gl. (29 b) Wir kommen somit zu der Aufstellung des folgenden Satzes: Der komplexe Wi- derstand der Probe bei Leerlauf ist um ein Drittel des Kurzschluß- eingangswiderstandes kleiner als der Leerlaufeingangswert, der Kurzschlußleitwert um ein Drittel des Leerlaufeingangswertes klei- ner als der Kurzschlußeingangsleitwert. Dieser Satz ist um so exakter gültig, je geringer dlK gegen diL bzw. Gl gegen Gk ist. Wird die Probe dünn, so wird DIl groß gegen DiK und Gk groß gegen Gl, d. h. 1/G wird mit Wl und l/W mit Gk identisch. Dies entspricht dem Inhalt der „Punktformeln“. Hat man sich an das Arbeiten mit komplexen tg-Tafeln einmal gewohnt, so sind die Gleichungen (23) besonders einfach im Gebrauch. Man wird dann die Gleichungen (26) nur noch in den Fällen anwenden, in denen sie infolge besonderer Gegebenheiten besonders einfach zu gebrauchen sind. Hiervon wird im folgenden die Rede sein. Die Auswertung der Gleichungen (23) wird zweckmäßig mit Hilfe des Formblattes (S.101) geschehen, wobei die Rechenoperationen 11 bis 14 wegfallen. Unter 17 und 18 erscheinen die Werte von 8 und 10, da p = 0 gilt, die Operationen 15 und 16 werden mit r = 1 vorgenommen. Bei Proben, die nicht zu große Verschiebungen bedingen, ist es zweckmäßig, die Gleichungen (26) etwas umzuformen und wie folgt zu verwenden: e = tg ~ (l + d) TI — j -jl (30a) A X l 1 — (1 — Wj?) sin2 2 n kt—J ~ t tg #.= Wz, j—, • (30 b) 1 — (1 — WL2) sin2 2n -A~ A WL2 Die Größen — —-— —und (1 —W2l) sin2 sind offenbar Korrekturen, um 1— (1 — vyl ) ••• die die einfachen Beziehungen 2n d 2Tr , , ~r~e = tg~i ( (3ia) e tg &e = 60 X x = Wl (31b) A prozentual zu verbessern sind, um zu den exakten Ergebnissen zu gelangen. In sehr vielen Fällen genügt es, diese Korrekturwerte nur zu überschlagen, um Endresultate ausreichender Genauigkeit zu erhalten. Vor allem bei Serienmessungen wird man so Vorgehen, daß die Korrektur für den Fall größter Werte Wl und l zunächst abge- schätzt wird. Ist sie dann kleiner als die Meßgenauigkeit, so wird man bei allen Pro- ben nur noch mit den Beziehungen (31) rechnen. Wird die Verschiebung so klein, daß der tg-Ausdruck von (31a) durch sein Ar- gument ersetzt werden darf, so geht Gleichung (31a) über in £=!+-• (31c) 106 Der DK-Wert dieser Beziehung weicht von dem der Gleichung (31a) um weniger als 3% ab, wenn die Forderung I + d < A (32) 20 erfüllt wird. Die Gleichung (31b) ist unter dieser Voraussetzung um höchstens 10%, für Wl < 0,7 um höchstens 5% gegen Gleichung (30b) falsch. Während die Gleichungen (30a) und (30b) für beliebige DK- und Leitwerte, also auch für große l und gelten, sind (31a) und (31b) für kleine l und Wl gültig (31a) gilt für kleines Wl, (31b)für kleines ll). Den Gleichungen (30) und (31) entnimmt man: Die DK wird um so mehr ausschließlich durch die Ver- schiebungsgröße l und x um so mehr durch Wl allein bestimmt, je geringer die Probenstärke und damit auch l und Wl werden. Abb. 1 Abschließend sei eine Konstruktion angegeben, auf die mein Mitarbeiter H. Metzler im Laufe gemeinsamer Diskussionen aufmerksam machte und mit deren Hilfe man den Fehler der einfachen Beziehungen (31) graphisch überblickt. Be- kanntlich bilden die Orte gleicher l - Werte der komplexen Funktion 107 tgf— (l+d) -/Ar Tg WL1 = .Re — j Im in der Re, Zm-Ebene Kreise, die die Punkte Im = dr 1 gemeinsam haben. Wird nun vom tiefsten Punkt E des durch ein gegebenes l bestimmten Kreises durch den Punkt A der Im-Achse, der OA — Wl erfüllt, eine Gerade gezogen, so schneidet diese den Kreis in einem zweiten Punkt P, der mit PB und PC die Werte Re und Im liefert. OA und OD repräsentieren also die Ergebnisse der Gleichungen (31), OB und OC die der exakten Gleichungen (26). Der Beweis für die Richtigkeit der Konstruktion ist einfach: Man entnimmt der Figur Re + (l + i\ V = ¥~i 7 = 1 + +d) ■ ctg Diese Gleichung folgt aber tatsächlich unmittelbar aus den Gleichungen (26), wenn aus Gleichung (26a) 1 Re • tg 2nß (l -\-d) errechnet und hierin an Stelle von 1 + tg2/l -j- W]} tg2 nach Gleichung (26b) der Quotient ImjWi eingeführt wird. 6. Extrem dünne leitende Proben1. Bei sehr dünnen Proben (z. B. Papieren) mit vorwiegend ohmscher Leitfähigkeit ergeben sich wesentliche Vereinfachungen in der Auswertung der Gleichungen (26), wenn die Verschiebung l sehr klein ist oder nahe bei A/4 liegt. Der erste Fall liegt meist vor, wenn der Ohmsche Widerstand der Probe größer als der Wellenwiderstand der Leitung ist, der zweite Fall, wenn er kleiner ist. Um eine Überblick über die Ab- hängigkeit der Verschiebung l von G zu gewinnen, ist in der folgenden Abbildung der Zusammenhang2 4 7i l 2Za)C 8 T = 1 — {ZGf — {ZooCf graphisch dargestellt. Darin ist Iß als Funktion von a — Z • G gebracht, wobei h — ZcoC als Parameter gewählt ist. Man erkennt: Je kleiner ZcoC ist, um so mehr schmiegt sich der Kurvenverlauf dem Grenzfall l — 0 für ZG < 1 und l = A/4 für ZG < 1 an. Bei Papieren mit stark überwiegender ohmscher Leitfähigkeit entspricht daher dem Übergang von kleinen Z-Werten zu Werten in der Nähe von A/4 nur ein geringes ZG-Intervall in der Nähe des Wertes ZG — 1. Aus diesem Grunde ist es lohnend, für Papiermessungen Formeln bereitzustellen, die für kleine und große l-Werte zweckmäßig sind. 1. Die Verschiebung ist klein3. Die Forderung (32) sei erfüllt. Dann folgt aus Gleichung (26a) (33a) Anstelle von e tg #e wird bei Papieren oft der Flächen widerstand F = Ijxd ein- geführt. Nach Gleichung (13g) besteht zwischen diesen beiden Größen der Zusam- menhang 1 Die folgenden Ausführungen sind vor allem von praktischer Bedeutung, wenn ed < A / 20 n güt. 2 Die Ableitung dieser Beziehung aus pe — Jv — (R—Z)l (R-j-Z)ist einfach, da die Berech- nung der Phase des Quotienten (R—Z)t{R+Z) keine Schwierigkeiten bereitet. Siehe hierzu z. B. Dbttde, Annalen [1897]. 3 1 + d < A/20 108 Abb. 2 109 2 n d 2 n d 120?r ~r~E tg &e=t 60 *x = * (34) Unter Benutzung dessen geht Gleichung (26b) über in = W'xfl + (1 - WV) tg” 2* t+fj, (33b) Läßt sich die Forderung (32) durch die Forderung A l -f- d & e d < - - (35) ZU 71 verschärfen, so gilt mit höchstens 1% Fehler l-^=WL. (36a) Gilt überdies WL < 0,7, (37) so wird mit der gleichen Genauigkeit | H^sK1-^2) <36b) gültig. 2. Die Verschiebung ist groß. Es ist bei großer Verschiebung l zweckmäßig, die Verschiebung l' einzuführen, die die Spannungsverteilung erfährt, wenn die Probe durch eine Kurzschluß- scheibe ersetzt wird. Die bei diesem Verfahren bestimmte Minimumlage unter- scheidet sich von der bei Leerlauf ermittelten um A/4. Somit muß A/4 den Wert 1' zu 1 ergänzen. Es gilt also tg — {l + d) = tg — + V + dj = — ctg — {V -fd). Das negative Vorzeichen vor dem ctg-Ausdmck rührt offenbar daher, daß V -f- d und l -f- d entgegengesetzt gerichtete Größen sind. Da bei der Messung nur der Betrag von V + d ermittelt werden muß, soll es im Folgenden fortfallen. Unter Einführung von l' folgt aus den Beziehungen (26) also; -1 i 2 7i d 2 n f, Wk2 T* = tgT ‘ + d) ~ 1..2«/ T (38a) 1 + 55Vtgx(!+rf) 2 nd 1 1 + tg2x(i,+• / \ 2n d 2n /, A TV'tg(~VrT,giri) <43) zweckmäßig benutzt. Sie erfordert die Kenntnis der Funktion y = z • tg 2, die man sich leicht verschaffen kann. Zu einer ausgezeichneten Näherungsformel gelangt man durch Entwickeln von Gleichung (42). Es folgt zunächst für das arctg z/z-Glied die Reihe 111 +d) +^tg2 + dj * tg 2 + + Man begeht einen Fehler von weniger als 5%, wenn man *+<*<-; *-M<- («) fordert und das zweite Reihenglied fortfallen läßt. Werden zudem im ersten Glied der Reihe die tg-Ausdrücke durch ihre Argumente ersetzt, so macht man einen weiteren Fehler von maximal 6% in entgegengesetztem Sinn. Es gilt somit mit großer Genauigkeit für die Reihe der Ausdruck 1-s(t)!-(*+*) •(*+*)• Wird weiter tg (2 n/X) (l -f (?) durch die beiden ersten Glieder seiner Reihe ersetzt, so begeht man einen weiteren Fehler von maximal 2%. Es gilt also an Stelle von (42) in guter Näherung die Beziehung '-i1 +s)[1 +Ut) il+d) J|_1—s(t) (*+%*+<*)]■ Dies weicht unter der gemachten Annahme von £~(i+s)[i+i¥(I-M)(*~*)J (45) um weniger als 2% ab und zwar wieder im entgegengesetzten Sinn. Gleichung (45) liefert also unter der Voraussetzung (44) mit wenigen Prozent Fehler behaftete Er- gebnisse. Aus der im nächsten Abschnitt folgenden allgemeinen Fehlerbetrachtung ergibt sich, daß die Ungenauigkeit nicht größer als 4% werden kann (Siehe Glei- chung 55 a für v = 1, w = oo, und Al = 0!) und mit der vierten Potenz des Quo- tienten l -f- d/X sich ändert. Die letzte Gleichung ist besonders angenehm im Ge- brauch, da der relative Fehler der Beziehung e = 1 -j- l/d in ihr erkenntlich ist. Man kann sich meist mit seiner Abschätzung begnügen, da er unter der Voraus- setzung (44) nicht 13% Fehler überschreiten kann. 8. Auswertung bei dünnen Proben. Es ist naheliegend, die im Abschnitt 5 gebrachten Verfahren, die für sehr dünne Proben gelten, zu ergänzen durch eine Reihenbetrachtung, die dem im Vorherge- henden für Blind widerstände Gebrachten entspricht. In Gleichung (20 a) sei daher der komplexe tgL und das komplexe arc tg z/z-Glied in Reihe entwickelt, beider Produkt gebildet und dieses mit den vierten Potenzen abgebrochen. Man erhält so nach einigen Zwischenrechnungen ajc tg Vtg£j_tgg = LK_lLK tp +X2\ + i #£*... Vtgi-tgiT 3 9 \ ;^5 ~i~e+ = i [1+5£(£-Ä)(1+B£s-r5£Ä+-»]- (46> 112 Dies ist eine komplexe Gleichung vom Typ b = (ax — ja2) [1 + (&! + jh2) (1 + q + jc2)]. (47) Seine Komponenten sind Realteil: ax [I + hx + bx cx — b2 c2] + a2 [b2 (1 + cx) + hx c2] (47 a) Imaginärteil: — a2 [1 + bx + bx cx — h2 c2] + ax [b2 (1 + cx) + bx c2]. (47b) Der Vergleich des ü-Ausdruckes mit dem Wert von (2TidjX) e+ ergibt mit den Ab- kürzungen Ar Tg TVl.— Al und Ar Tg WK = AK: 2jc 1 di — —J- (l ~f- d) (48a) d2 = Al (48b) &i = - $ ~\~ d) (l — k) — Al (Al — Ak) (48c) —= £ ~j~ d) (Al — Ak) + Al (l — k) (48d) Ci = (t) + ] — gAL2-\r^ALAK—-Ak2 (48e) — c2 = [l Al — — (l + d) Ak +(& -\-d) Aj}j + (k • (48f) Wir wollen nun so verfahren, daß wir Näherungsgleichungen angeben, die man durch Abbrechen des b-Ausdruckes mit den ö-Gliedern gewinnt und den Fehler dieser Gleichungen durch Diskussion des durch die c-Glieder bedingten Bestes ab- schätzen. Die Komponenten der Gleichungen (47 a) und (47 b) sind mit dem 2 Ti d/A-fachen von e und e tg &e identisch. Werden in ihnen die c-Glieder gestrichen und für die a- und ö-Werte die Gleichungen (48) eingesetzt, so folgt ®“(1 + j)^1 +^ril +d)^~l]~\AL*r-Td~lAL J (49a) 2 n d — £ tg = Al jj- (Al — Ag'j (l + d)2, —Ljl K +2(? -\-d) (l — (49b) Die Beziehungen (49) sind einfach im Gebrauch, da die Glieder in den eckigen Klam- mern meist so klein sind, daß ihre Abschätzung ausreicht. Ist Al <0,1 und Ak < 0,2, so wird Gleichung (49a) mit Gleichung (45) identisch. Ist l + d < und k + d < A/IOjt, so geht für AK < 2 AL die Gleichung (49b) in die Gleichung (45) entsprechende Beziehung —• £ tg == Al 1 — — (50) über. Welches ist nun der durch Vernachlässigung der c-Glieder bedingte Fehler ? So- lange die Korrekturglieder in den eckigen Klammern der Gleichungen (49) kleiner als 1 sind, kann der relative DK-Fehler der Gleichung (49 a) gemäß Gleichung (47 a) mit 113 — = Ux cx — b2 c2] + - (62 cx + bx c2) (51a) £ \ / Cbx und der relative Leitfähigkeitsfehler der Gleichung (49b) nach Gleichung (47 b) mit Aye / \ d' = 61 cx — 62 c21 -1 (62 cx -f bx c2) (51 b) x \ J a2 in guter Näherung angegeben werden. Es sei jetzt gefordert l+d . 2n 2n Al < Y7T- ; Ak < yx— > (52b) 10 w Khy wobei über die Konstanten v und w noch nicht verfügt werden soll. Dann folgt auf Grund der Gleichungen (48) K < 0,13 I - +-1 ; 16, (63a) y2 w2 \ \ v w Je, < 0,026 I -+-1 ; L (53b) ■y2 w2 \ \ v •w Unter Benutzung der Beziehungen (53) lassen sich obere Grenzen für die Klammer- ausdrücke der Beziehungen (51) angeben. Es folgt im einzelnen: 61c1-62o2|<0.04p+^2 (54a) . . 0,15 ri 11 62cx +V2 < ~2 H 2 (54b) VW \ V* W2 \ Nach den Gleichungen (48a), (48b), (51) und (54) erhält man als Abschätzung des Fehlers der Gleichungen (49) somit: < 004ri+H2^+A . (55a) £ <ü,U4|j* l+d vw\_v*+w*j (o5a) nnJ1 , l"l2 , 0,15 , 2n l 4- d 0,151“! . 1“1 — < 0,04 — -)—ö I "ä" a H—1 —1— ~2 H—ä ' (55b) x v2 vr \ vzvr / Ai, v-w Ky2 vr Man erkennt: Die Gleichungen (49) liefern für die Realkomponente bei < 2nß{l -\-d) und für die Imaginärkomponente bei Al > (2?r/A) (l + d) ungenauere Er- gebnisse als für die Imaginär- bzw. Realkomponente. Umgekehrt gilt für Al Al>t{1 +d):lf<0’04(s+s) ■ (56b) Die Beziehungen (49) sind daher besonders geeignet für dieDA-Bestimmung schlecht ohmisch leitender Proben und die Leitwert-Bestimmung gut ohmisch leitender Proben. Wenden wir uns den Fällen geringer Dämpfung zu, so ergibt sich folgendes; Für Wl ** Al < 0,1 und Wk & Ak < 0,2 stimmt Gleichung (45) mit der allgemein als gültig erkannten Beziehung (49a) praktisch überein. Der exakte Wert von 114 Gleichung (49a) ist etwas kleiner und zwar um höchstens 1%. Da unter den ge- machten Voraussetzungen Äi,< 0,1 und AK < 0,2 W < 2 und auf Grund der Voraussetzung (44) V < 1 gilt, ergibt sich, daß der durch Vernachlässigung der höheren Glieder bedingte Fehler nach Gleichung (55 a) kleiner als 7% ist, wenn Al < (2jt/A) (l + d) erfüllt ist. Wird Al, Ak < 1/20 gefordert, so ist er kleiner als 5%, im Falle AL=AK — 0 kleiner als 4%. 9. Zusammenfassung. In der vorliegenden Arbeit wird die Frage erörtert, wie man im Dezimeterwellen- bereich die vier elektrischen und magnetischen Konstanten e, n, tg &e und tg von Materialien zweckmäßig bestimmt. Dabei wird angenommen, daß die Material- probe das Ende einer Lecherleitung ohne Änderung der Leitungsdimensionen aus- füllt bzw. umgibt und die bekannte Methode der Spannungsabtastung zwischen Sender und Probe voraussetzt. Mit dieser Methode wird das Wellenverhältnis C/(min): U (max) und die Lage der Spannungsminima gemessen, wobei die Probe am der Leitung abgewandtem Ende einmal kurzgeschlossen ist und im zweiten Meßgang offen bleibt. Die bisher bekannten rechnerischen Verfahren zur Bestimmung der genannten Materialkonstanten aus den Meßwerten sind recht umständlich. So be- nötigt das in der vorliegenden Arbeit zunächst gebrachte Verfahren, das nur ge- ringe Verbesserungen gegenüber den von anderen Autoren mitgeteilten Methoden besitzt, 58 Rechenoperationen (Gleichungen 8c, 8d, 10b, 10c, 13a, 13b, 13e und 13f). Nur ein kleiner Teil dieser Arbeit kann durch graphische Darstellungen erleichtert werden. Bei Serienuntersuchungen macht sich der durch diese Auswertung bedingte Zeitaufwand sehr störend bemerkbar. So ergibt sich die Frage nach zweckmäßigeren Aus werte verfahren, die das Endergebnis schneller ermitteln lassen. In der vorlie- genden Arbeit werden solche Verfahren angegeben. Ist man im Besitz komplexer Tangenstafeln, so arbeitet man zweckmäßig mit dem Verfahren, das in den Gleichungen (20a) und (20b) seinen Ausdruck findet und das bei gleicher Allgemeingültigkeit eine wesentliche Verbesserung gegenüber dem erst- gebrachten Verfahren aufweist. Eswerden ein Formblatt (s. S. 101) und eine Tabelle der komplexen Funktion arc tg zjz beigegeben, mit deren Hilfe die vier Material- konstanten in nur 18 Rechenoperationen bestimmt werden können. Der Zeit- aufwand bei Anwendung dieses „komplexen“ Verfahrens beträgt etwa ein Drittel desjenigen, den das erstgenannte Verfahren erfor- dert. Man kann sich die Rechenarbeit weiter sehr erleichtern, wenn man spezielle Ge- gebenheiten der Materialproben berücksichtigt. Es ist dann möglich, gegenüber dem genannten komplexen Verfahren weitere für die praktische Arbeit bedeutende Vereinfachungen einzuführen. Es sind daher im weiteren Verlauf der Arbeit eine Reihe von Sonderverfahren entwickelt worden, die in sehr vielen Fällen besonderer Probeneigenschaften von praktisch großem Nutzen sind. Diese Methoden betreffen die folgenden Möglichkeiten: 1. Die Materialien sind nicht eisenhaltig. Es ist n = 1 und tg — 0. Ist dies der Fall, so wird die Durchführung der Kurzschlußmessung schwer durch- führbar, wie den Gleichungen (22) und (22 a) entnommen werden kann und auch unnötig, e und tg sind dann nach der bekannten Beziehung (21) exakt bestimm- bar, wobei man allerdings im Besitz der komplexen Funktion z = wtgw sein muß. Ohne diese Funktion ergeben sich in vollkommen ausreichender Näherung die ge- suchten Werte schnell mit Hilfe der Beziehungen (25a) und (25b), wenn die For- derung (23 d) erfüllt wird, was praktisch meist der Fall ist. 2. Die Proben sind dünn. Man verwendet zweckmäßig die reellen Beziehun- gen (30a) und (30b), wobei meist die darin enthaltenen Korrekturen der einfachen Beziehungen (31a) und (31b) nur überschlagen werden müssen. Wenn die Korrek- 115 turen in den Gleichungen (30) so groß werden, daß ihre genaue Berechnung erfor- derlich wird, dann rechnet man einfacher mit Hilfe der Beziehungen (23) komplex. Der Gültigkeitsbereich der Beziehungen (30) ist mit Hilfe der Beziehungen (28a) und (28 b) abschätzbar, den Relativfehler liefern die Beziehungen (28). 3. Die Proben sind sehr dünn und vorwiegend ohmisch leitend. Dieser Fall ist z. B. gegeben, wenn leitfähige Papiere untersucht werden sollen. Es ergeben sich hier besonders einfache Beziehungen für Leitfähigkeit und Verlust- faktor, wenn die Verschiebung der Spannungsverteilung, die das Papier verursacht, klein ist. 4, Die Materialien verursachen keine Dämpfung, d. h. es ist tg#e = tg — 0. Es werden die hierfür, exakten Formeln und im Gebrauch sehr einfachen Näherungsformeln angegeben. Die Näherungsgleichungen (45) gestatten die Be- stimmung von e und n mit ausreichender Genauigkeit, wenn die Forderung (44) erfüllt wird. 5. Sodann werden Formeln angegeben, die eine Erweiterung der Gleichungen (45) für beliebig leitfähige Proben darstellen und ihre Fehler abgeschätzt. Sie sind be- sonders geeignet zur Bestimmung der DK schlecht leitender Proben und zur Er- mittlung der Leitfähigkeit gut leitender Materialien. Abschließend folgt eine ausführliche Formelzusammenstellung für den prakti- schen Gebrauch und die Tabelle der komplexen Funktion w = arc tg z/z, die auf Veranlassung des Verfassers von H. Metzler für den erläuterten Zweck speziell berechnet wurde. FORMELZUSAMMENSTELLUNG ZUR ERMITTLUNG DER ELEKTRISCHEN UND MAGNETISCHEN MATERIALKONSTANTEN IM DEZIMETERBEREICH. 1. Verfahren für Proben beliebiger Materialwerte' (ohne Verwendung komplexer Funktionen). 4 7t 116 ß &L &/i = arc tg — (li) n . ß , + &K ,, , x ■&e = arc tg H y (1k) In den folgenden Abschnitten werden nur Formeln für e und e • tg angegeben. Die entsprechenden Gleichungen für die magnetischen Stoffkonstanten erhält man, wenn l durch k und Wl durch TFg in den gebrachten Gleichungen ersetzt wird. 2. Verfahren für Proben beliebiger Werte (unter Verwendung kom- plexer Funktionen). L = — j Ar Tg WL (2a) 2nd c+ tgIarCtg VtgZ,’tg K. (2b) L * tg K 3. Verfahren für /x+ = 1. In tg L = Re — j Im (3 a) ist tg L durch die Gleichung (2a) definiert. Es gilt in ausreichender Näherung 2 7i d I“ , d / Zm2\ | v = (3b) 2 n d T r , „ d k —-j— s tg &e = Im\ 1 — 4,2 - Re . (3 c) Bei nicht zu großem Verhältnis Im/Re sind die Gleichungen anwendbar, wenn Ve erfüllt wird. Wird der Forderung (3d) nicht genügt, so muß nach der Gleichung e+ tg ) = tg L (3e) unter Zuhilfenahme der komplexen Funktion z —w • tgw gearbeitet werden. 4. Verfahren für sehr dünne Proben. 2nd 2n f \ 1 — WL2 - e = Rl = tg -y il -\-d\ — (4a) A 11 'i + wL>*%{i+i) ~«tg«. = Im = WL %V \ ■ (4b) 1 1 +TFi‘tg*-(l+«*) Der Fehler der Beziehungen ist abschätzbar nach 3 —= 2 IlIk-RlRk+I (4c) £ KL 117 3 - (£ tg/‘) = 2 RlRk — IlIk + Sl' — - (4d) £ tg $£ 1L Bei kleinen Verschiebungswerten l gilt 2 n d 2ji / ,\ f” Wj2 ~1 2 n . , —j— e=ig-T il +d) 1 ö—7 tg^-(Z+d) (4e) A y l_(l_^sin * ~ s tg «. = WL ss WL. (4f) 1 1 —(l — Tfi2)sin2 — (i+^ Wird l + d < A/20, so gilt bei kleinem Wl «=i+3- (4g) 5. Papiermessungen. Ist l -\-d < A/20 7i und WL < 0,7, so gilt 2 re d 120 7t —j— etg&e= -J- = WL. (5a) e = (l+-](! —HV). (5b) Ist V -{-d < {V wird gemessen, wenn die Probe durch Kurzschluß ersetzt wird und ist umgekehrt wie l gerichtet), so gilt ,Är=41+ (5c) f, tl'\ W~1 ( j)'+(¥^r In allen anderen Fällen werden die Beziehungen (4a) und (4b) verwandt. Allgemein gilt ferner + Q 2 Tfi 2 tg = = —— • (5e) [l — sin J! (l + dj (1 — WV) sin ~ (r + rf) 6. Nichtleitende Proben. 2 ni 2.,,, /rct8Vtg t(‘ + (*) ‘‘«tM —r- £ =t§T * r-5- — ■ -0 • (6a) * * V > \ 2n /, ,\ 2ti /, _\ Vtg T ( / ’tg T r + / Für n == 1 gilt = tg — {l + d). (6b) 118 Für l -f- d < A/10 und k -f d < A/10 gilt £ — j”l + -y (£ + — • (6c) 7. Verfahren für dünne Proben, die nach den Formeln (4) ungenau gemessen werden: £~(* +5)[J (7a) 2 Ti d -J- etg&8 = j [l+ ~-g— + 2 (i + d)(l- | (7b) Darin ist AL — Ar Tg Wl und AK — Ar Tg Wk- Der Fehler der Gleichungen in relativem Maße ist beschränkt durch die Beziehungen: Ae A Al —- < w + — r-—= n (7 c) c Z 7i l —)— d A (etg&e) 2nl -f d etg#e A AL worin m=0,04j^l+l]!+— (7e) n=—f-T +-,1 (?f) V • W \ V1 VT \ mit l+d\<± in k-\-d J 10v Ak j 10w ist. 119 RÜCKBLICK. Die vorliegende Untersuchung befaßt sich mit dem Problem der Messung kom- plexer Widerstände, dielektrischer und magnetischer Konstanten von schwach- und starkleitenden Substanzen bei ultrahohen Frequenzen (Dezimeterwellen). Es handelt sich dabei sowohl um die Entwicklung geeigneter Meßmethoden als auch um die Ausarbeitung zweckmäßiger Auswerteverfahren zur Bestimmung der ge- suchten Konstanten auf Grund der experimentell gewonnenen Meßwerte. In der Einleitung (Kapitel I) der Arbeit wurde die Wichtigkeit dieser Fragestellungen für verschiedene Zweige der naturwissenschaftlichen Forschung gezeigt. Besondere Be- deutung haben sie in der biophysikalischen Hochfrequenzforschung erlangt, wo es sich darum handelt, einerseits durch die Bestimmung der elektrischen Konstanten biologischer Gewebe die therapeutischen Anwendungsmöglichkeiten des Dezimeter- wellenbereiches zu klären und abzugrenzen, andererseits Strukturanalysen des nor- malen bzw. pathologischen Gewebes und damit die Diagnostik krankhafter Prozesse im Organismus durch solche Messungen zu erreichen. Die bisher vorliegenden, hauptsächlich von Hochfrequenztechnikern entwickelten Methoden haben vor allem drei Nachteile: 1. Die bisher bekannten Resonanzver- fahren sind nur in speziellen Fällen anwendbar und das meistbenutzte Verfahren der Spannungsabtastung längs einer Lecherleitung erfordert die Untersuchung eines sehr störanfälligen Minimumwertes. 2. Die bei den bisher empfohlenen Anordnungen angebrachten Stützen der Leiter stören in schwer übersehbarer Weise die Messung. 3. Alle bis jetzt bekannten Verfahren, aus den mit Hilfe der an Lecherleitungen ge- wonnenen Meßdaten die elektrischen und magnetischen Konstanten von irgendwel- chen Substanzen zu berechnen, sind sehr umständlich. In der vorgelegten Arbeit wird gezeigt, wie Meßtechnik und Auswerteverfahren so verbessert werden können, daß allen Anforderungen bezüglich Einfachheit und zugleich Genauigkeit genügt wird und die soeben geschilderten Schwierigkeiten beseitigt werden. Das zweite Kapitel enthält eine umfassende Theorie der nichtquasistationären Resonanzmethoden. In ihr wird bewiesen, daß die Resonanzverfahren keinesfalls, wie oft behauptet wird, vorzugsweise für nur stark wellenwiderstandsungleiche Wi- derstände geeignet sind. Es kann vielmehr grundsätzlich mit den zweckmäßig ge- stalteten Resonanzmethoden, wie dies für die vom Verfasser entwickelten Anord- nungen in der vorliegenden Arbeit gezeigt worden ist, alles das geleistet werden, was mit den „Abtastmethoden“, bei denen die Spannungsverteilung längs der Meß- leitung abgetastet wird, möglich ist. Die Resonanz verfahren verfügen zudem über wesentliche Vorteile bei stark wellenwiderstandsungleichen Widerständen. Aus der Arbeit folgt, daß die Resonanzmethoden den Abtastverfahren stark überlegen sind und in der Dezimeterwellenmeßtechnik ausschließlich zur Anwendung kommen sollten. In dem dritten Kapitel wird eine vom Verfasser entwickelte Lecherleitung in offener Bauform beschrieben, die nach einem der in dem zweiten Kapitel beschrie- benen besonders zweckmäßigen Resonanzverfahren arbeitet. Die Leitung ist für Messungen im Wellenlängenbereich von 40 bis 300 cm geeignet. Ihre Vorteile vor Leitungen anderer Ausführungsform werden ausführlich behandelt. Besondere Ab- schnitte sind Fragen der Probenanpassung und den bei Anwendung von Substitu- tionsmethoden zu berücksichtigenden Gesichtspunkten gewidmet. Im vierten Kapitel wird schließlich die Wirkung einer am Ende der Leitung be- findlichen Halterung, wie sie bei der im dritten Kapitel beschriebenen Anlage an- gebracht ist, theoretisch näher untersucht. Es wird gezeigt, daß die Vernachlässi- gung der durch eine nicht ganz einwandfrei hergestellte Halterung bedingten Störung unter Umständen zu groben Pehlbestimmungen führt und angegeben, wie die Störung einer Halterung bestimmt und eliminiert werden kann. Das letzte Kapitel behandelt speziell die Bestimmung von Materialkonstanten beliebig leitfähiger Proben. Die bisher üblichen Verfahren erfordern im allgemeinen 120 einen erheblichen rechnerischen Aufwand und sind daher nicht sehr angenehm im praktischen Gebrauch. Der Verfasser hat es sich daher zur Aufgabe gemacht, diese Verfahren auf die knappste Form zu bringen. Es wurde ein Rechen verfahren aus- gearbeitet, das einen wesentlichen Zeitgewinn gegenüber den ersterwähnten Me- thoden ergibt, ohne in seinem Gültigkeitsbereich beschränkt zu sein. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird gezeigt, daß bei speziellen Probeneigenschaften (geringe Probendicke, geringe Wirkverluste oder /x = 1 usw.) nochmals wesentliche Verein- fachungen erzielt werden können und die dann zweckmäßig anzuwendenden Re- chenverfahren entwickelt. 121 tt- .n- ~ . , , • , __ , .. arc tg z Tafeleingang: z = Vierstellige Tafel der komplexen Funktion w = ——-— 2 Tafelausgang: w = r — t • i±7 (0 < < < 1 und = r ■ i±9 |r| < 1) * t T 1 0,00 0,10 0,20 0,30 • 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0,00 1,0000 —33 0,9967 —97 0,9870 —155 0,9715 —202 0,9513 —240 0,9273 —266 0,9007 —282 0,8725 —291 0,8434 —292 0,8142 —288 0,7854 1 6 13 19 26 31 35 38 40 39 0,10 1,0000 —32 0,9968 —92 0,9876 —148 0,9728 —196 0,9532 —233 0,9299 —261 0,9038 —278 0,8760 —288 0,8472 —290 0,8182 —289 0,7893 5 17 36 57 78 95 108 117 120 122 0,20 1,0000 —27 0,9973 —80 0,9893 —129 0,9764 —175 0,9589 —212 0,9377 —244 0,9133 —265 0,8868 —279 0,8589 —287 0,8302 —287 0,8015 7 28 58 94 129 161 185 201 210 212 0,30 1,0000 —20 0,9980 —59 0,9921 —99 0,9822 —139 0,9683 —177 0,9506 —212 0,9294 —241 0,9053 —263 0,8790 —278 0,8512 —285 0,8227 10 36 77 127 180 230 270 299 315 320 0,40 1,0000 —10 0,9990 —33 0,9957 —58 0,9899 —89 0,9810 —124 0,9686 —162 0,9524 —201 0,9323 —234 0,9089 —262 0,8827 —280 0,8547 10 41 89 153 226 300 367 416 448 459 0,50 1,0000 0 1,0000 —2 0,9998 —10 0,9988 —25 0,9963 —51 0,9912 —88 0,9824 —134 0,9690 —185 0,9505 —230 0,9275 —269 0.90C6 10 41 95 - 170 264 370 475 566 626 652 0,60 1,0000 10 1,0010 29 1,0039 44 1,0083 50 1,0133 43 1,0176 18 1,0194 —29 1,0165 —94 1,0071 —170 0,9901 —243 0,9658 10 39 91 170 281 425 593 759 888 952 0,70 1,0000 20 1,0020 58 1,0078 96 1,0174 129 1,0303 154 1,0457 162 1,0619 139 1,0758 72 1,0830 —41 1,0789 —179 1,0610 7 31 75 148 263 437 687 1004 1315 1497 0,80 1,0000 27 1,0027 82 1,0109 140 1,0249 202 1,0451 269 1,0720 336 1,1056 389 1,1445 389 1,1834 270 1,2104 3 1,2107 5 21 51 103. 194 355 650 1194 2073 2834 0,90 1,0000 32 1,0032 98 1,0130 170 1,0300 254 1,0554 360 1,0914 497 1,1411 684 1,2095 933 1,3028 1149 1,4177 764 1,4941 2 7 17 37 72 141 295 704 2181 1,00 1,0000 34 1,0034 103 1,0137 180 1,0317 274 1,0591 395 1,0986 566 1,1552 838 1,2390 1342 1,3732 2626 1,6358 122 — Q = Zu Seite 100. r\ * 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000. 0,0000 7 25 55 93 136 182 230 276 321 363 0,10 0,0000 7 0,0007 18 0,0025 30 0,0055 38 0,0093 43 0,0136 46 0,0182 48 0,0230 46 0,0276 45 0,0321 42 0,0363 5 24 51 86 129 175 222 270 316 360 020 0,0000 12 0,0012 37 0,0049 57 0,0106 73 0,0179 86 0,0265 92 0,0357 95 0,0452 94 0,0546 91 0,0637 86 0,0723 5 18 42 74 107 158 207 257 306 353 0,30 0,0000 17 0,0017 50 0,0067 81 0,0148 105 0,0253 119 0,0372 143 0,0515 144 0,0659 144 0,0803 140 0,0943 133 0,1076 3 13 29 55 95 132 181 234 289 343 0,40 0,0000 20 0,0020 60 0,0080 97 0,0177 131 0,0308 159 0,0467 180 0,0647 193 0,0840 197 0,1037 195 0,1232 187 0,1419 1 5 14 29 55 92 141 199 262 326 0,50 0,0000 21 0,0021 64 0,0085 106 0,0191 146 0,0337 185 0,0522 217 0,0739 242 0,0981 255 0,1236 258 0,1494 251 0,1745 —1 —3 —5 —2 10 36 80 143 219 301 0,60 0,0000 20 0,0020 62 0,0082 104 0,0186 149 0,0335 197 0,0532 243 0,0775 286 0,1061 318 0,1379 334 0,1713 333 0,2046 —3 —12 —24 —37 —47 —41 —12 50 145 260 0,70 0,0000 17 0,0017 53 0,0070 92 0,0162 136 0,0298 187 0,0485- 249 0,0734 315 0,1049 380 0,1429 429 0,1858 448 0,2306 —4 —19 —42 —74 —109 —150 —155 —116 2 188 0,80 0,0000 13 0,0013 38 0,0051 69 0,0120 104 0,0224 152 0,0376 208 0,0584 310 0,0894 419 0,1313 547 0,1860 634 0,2494 —6 —24 —56 —103 —169 —248 —354 —430 —358 30 0,90 0,0000 7 0,0007 20 0,0027 37 0,0064 57 0,0121 86 0,0207 129 0,0336 204 0,0540 343 0,0883 619 0,1502 1022 0,2524 —7 —27 —64 —121 —207 —336 —540 —883 —1502 —2524 1,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 ♦ 0,0000 123